1. 时间序列分析-自回归过程AR(p)
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时间序列分析的基础模型：自回归过程
时间序列分析中，自回归过程是基础模型之一，因为它与其他模型如移动平均过程、分布滞后等相结合，可以构建更复杂的模型，如自回归移动平均过程和自回归分布滞后模型等。本文将深入探讨自回归过程，特别是阶数为一的过程以及高阶过程。
一、一阶自回归过程(Auto Regressive Process of Order One)
一阶自回归过程旨在描述时间序列数据中的自相关性，例如，当前年份的 GDP 与前一年的 GDP 有相关性，本周短期利率与上周利率之间的关系。这一过程使用一维时间序列来考察数据的自身相关性。
在一阶自回归模型中，当前值依赖于前一个时间点的值，可以表示为：[公式]。其中，假设 [公式] 为白噪声，[公式] 为过程参数。可以验证，[公式] 时，[公式] 为渐进的平稳过程。模型参数 [公式] 的估计量可以提供一致估计，但会损失一个样本，即需要从 [公式] 开始。
二、高阶自回归过程
在更高阶的自回归模型中，[公式]阶自回归过程形式为：[公式]，其中 [公式]为白噪声。高阶自回归模型考虑了数据中更长的时间依赖性，以便更准确地捕捉复杂的时间序列模式。
考虑高阶自回归的重要性在于，它可以更全面地描述时间序列数据的动态特性。例如，假设数据为[公式]时间序列，不仅与前一年数据相关，还与前前一年数据显著相关，即真实模型为[公式]。忽略高阶项可能导致错误识别，从而产生偏差。
三、识别阶数[公式]的方法
识别自回归模型的阶数是时间序列分析中关键步骤。常用方法包括序贯规则和信息准则。序贯规则通过逐步增加滞后阶数来估计模型，并在显著性检验后去除不显著的阶数。信息准则（如AIC和BIC）则是通过最小化包含模型复杂度惩罚的准则来选择最优滞后阶数。
信息准则表达式复杂是为了确保在大样本情况下得到最优解，即真实滞后阶数的一致估计。然而，小样本情况下两者难以区分优劣。
在模型识别过程中，如果序贯规则与信息准则给出不同结果，应选择滞后阶数较大的模型，并对模型残差进行自相关检验。若发现残差存在自相关性，可能需要增加滞后阶数以避免遗漏变量偏差。
本文对自回归过程及其阶数识别方法进行了详细介绍。下一节将探讨移动平均过程与自回归移动平均过程，并介绍它们的脉冲响应函数。
