初中函数概念

函数及其相关概念

Ⅱ Ⅰ

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

一次函数和正比例函数

1、一次函数的概念：一般地，如果ykxb（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数ykxb中的b为0时，ykx（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。 2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线

一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像是经过点（0，b）的直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标，即一次函数在y轴上的截距)；正比例函数ykx的图像是经过原点（0，0）的直线。

3、斜率：

y2y1

ktanx2x1y P(x0 y0) d B(x2, y2) A(x1, y1) y=kx+b ①直线的斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0) ②由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:

b a 0 x ykxb(tan)xby2y1x(xx1)y1x2x1

③由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：④设两条直线分别为，l1：yk1xb1 l2：yk2xb2若 若l1//l2，则有l1//l2k1k2且b1b2。

xy1 abl1l2k1k21 Y A ⑤点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: d22k(1)

4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用寻求解题方法）

如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）

kx0y0bkx0y0bk21此方法拓展思路，以X B 则AB间的距离，即线段AB的长度为

x1x22y1y22

5、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式ykx（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式ykxb（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

6、（1）一次函数图象是过 两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于y轴。

（2）当k>0时，图象过一、三象限，y随x的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）； （3）当k<0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小。从左至右图象是下降的（左高右低）；

（4）当b>0时，与y轴的交点（0，b）在正半轴；当b<0时，与y轴的交点(0,b)在负半轴。当b＝0时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线

（5）几条直线互相平行时 ，k值相等而b不相等。

反比例函数

1、反比例函数的概念

一般地，函数yk1（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成ykx的形式。自变x量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数，也可写成xy=k(k是常数，k≠0)

反比例函数中，两个变量成反比例关系：由xy=k，因为k为常数，k≠0，两个变量的积是定值，所以y与x成反比变化，而正比例函数y=kx(k≠0)是正比例关系：由

2、反比例函数y=

y=k (k≠0)，因为k为不等于零的常数，两个变量的商是定值。 xk(k≠0)的图象的画法 画图方法：描点法。 x 由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支。一定要注意：k>0，双曲线两分支分别在第一、三象限。k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限。(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称。 特点：y=

k=kx-1(k≠0)中，∵x≠0，∴ y≠0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。但无限靠近x轴、yx轴。画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来。

3、反比例函数的性质和图像

反比例函数 k的符号 y O x ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k>0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 k>0 yk(k0) xk<0 y O x ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k<0时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 图像 性质 4、反比例函数解析式的确定 确定的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何的意义

如下图，过反比例函数yk中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的xk(k0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积xS=PM•PN=y•xxyy二次函数

k,xyk,Sk x2 1、二次函数的概念：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x 的二次函数。

yax2bxc(a,b,c是常数，a0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于xb对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a3、二次函数图像的画法 五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线yaxbxc与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像

4.求抛物线的顶点、对称轴的方法

2b4acb2bb4acb2（，）（1）公式法：yaxbxcax，∴顶点是，对称轴是直线 x2a4a2a2a4a22 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线

2xh.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线

(x2,y)（及y值相同）上两点(x1,y)、，则对称轴方程可以表示为：x5.抛物线yaxbxc中，a,b,c的作用

2x1x2 2 （1）a决定开口方向及开口大小①当a0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当a0时，抛物线开口向下；顶点为其最高点。 a相等，抛物线的开口大小、形状相同. a越大，图像开口越小，a越小，图像开口越大。 ② 平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yaxbxc的对称轴是直线x故：①b0时，对称轴为y轴； ②

③

2b， 2ab0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； ab0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. a22 （3）c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置.当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则

6、二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：yaxbxc(a,b,c是常数，a0) （2）顶点式：ya(xh)k(a,h,k是常数，a0)

22b0. a2（3）交点式：当抛物线yaxbxc与x轴有交点时，即对应二次好方程axbxc0有实根x1和x2存在

2时，根据二次三项式的分解因式axbxca(xx1)(xx2)，二次函数yaxbxc可转化为两根式

22ya(xx1)(xx2)。如果没有交点，则不能这样表示。几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式 开口方向 当a0时 开口向上 当a0时 开口向下 对称轴 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) yax2 yax2k yaxh 2x0（y轴） x0（y轴） xh yaxhk 2xh xb 2ayax2bxc ya(xb24acb2)2a4a b4acb2，() 2a4a7、二次函数的最值

4acb2b如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x时，y最值。

4a2a如果自变量的取值范围是x1xx2，那么，首先要看b是否在自变量取值范围x1xx2内，若在此范围内，2a4acb2b则当x=时，y最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1xx2范围内的增减性，如果在此范围

4a2a22内，y随x的增大而增大，则当xx2时，y最大ax2bx2c，当xx1时，y最小ax1bx1c；如果在此范围22内，y随x的增大而减小，则当xx1时，y最大ax1bx1c，当xx2时，y最小ax2bx2c。

8、二次函数的图象 函数 二次函数yaxbxc(a,b,c是常数，a0) a>0 y 图像 a<0 y 2 0 x 0 1 x （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2）对称轴是x=b， 2ab， 2a4acb2b顶点坐标是（，）； 4a2a（3）在对称轴的左侧，即当x<性质 4acb2b顶点坐标是（，）； 4a2abb时，y随x（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x2a2a的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>b时，y随x的增大而增大，简记左减2ab时，y随x的增大而减小，简记左2a右增； （4）抛物线有最低点，当x=增右减； bb时，y有最小（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最2a2a大值，y最大值值，y最小值9. 抛物线的交点

4acb2 4a4acb2 4a（1）y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0, c).

（2）抛物线与x轴的交点：二次函数yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方

2程axbxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式

22b24ac判定：

①有两个交点 (0)抛物线与x轴相交； ②有一个交点（顶点在x轴上）(0)抛物线与x轴相切； ③没有交点 (0)抛物线与x轴相离. （3）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐

标是axbxck的两个实数根.

（4）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yaxbxca0的图像G的交点，由方程组

22ykxnyaxbxc2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时

l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

反比例函数y2kyaxbxca0的图像的交点，由方程组 k0的图像与二次函数

xky 的解来确定。 xyax2bxc0，Bx2，0，由于x1、x2是 （5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yaxbxc与x轴两交点为Ax1，2方程axbxc0的两个根，故x1x2

2bc,x1x2 aa2b24cb24acABx1x2（x1x2）（x1x2）4x1x2（） aaaa2