高中数学教学设计

等比数列的前n项和 〔 第一课时〕

一． 教材分析。

〔1〕教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学〔5〕，是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

〔2〕从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。

二．学情分析。

〔1〕学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。

〔2〕教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。

〔3〕从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易无视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

三．教学目标。

根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： 〔1〕知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。

〔2〕过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的

能力．

〔3〕情感，态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的 简洁美。

四．重点,难点分析。

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点：公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。

五．教法与学法分析.

培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人〔在教师指导和学习伙伴的帮助下〕协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此，本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法，让老师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题。一句话： 还课堂以生命力，还学生以活力。

六．课堂设计

〔一〕创设情境，提出问题。〔时间设定：3分钟〕

[利用投影展示] 在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？

[设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．故事内容紧扣本节课的主题与重点]

提出问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？ 引导学生写出麦粒总数1222〔二〕师生互动，探究问题[5分钟]

提出问题2：1+2+22+23++263究竟等于多少呢?

有学生会说：用计算器来求〔老师当然肯定这种做法，但学生很快发现比较难求。〕

提出问题3：同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征？〔学生会发现，后一项都是前一项的2倍〕

提出问题4：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，那么我们假设在此等式两边同以2，得到另一式： [[利用投影展示]

23263

...S641222232S642222234263.........(1)2.......(2)64

比较〔1〕(2〕两式，你有什么发现？〔学生经过比较发现：〔1〕、〔2〕两式有许多相同的项〕 提出问题5：将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢？。〔学生会发现：S642641 [这五个问题的设计意图：层层深入，剖析了错位相减法中减的妙用，使学生容易接受为什么要错位相减，经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，也让学生感受到这种方法的神奇] 这时，老师向同学们介绍错位相减法，并

提出问题6：同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程，为什 么〔1〕式两边要同乘以2呢？

[这个问题的设计意图:让学生对错位相减法有一个深刻的认识，也为探究等比数列求和公式的推导做好铺垫]

〔三〕类比联想，解决问题。[时间设定：10分钟] 提出问题7：设等比数列an的首项为a1,公比为q,求它的前项和Sn

即 Sna1a2a3an 学生开展合作学习,讨论交流，老师巡视课堂，发现有典型解法的，叫同

学板书在黑板上。

[设计意图：从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和能力提高，让学生在探索过程

中，充分感受到成功的情感体验]

〔四〕分析比较，开拓思维。[时间设定：5分钟] 将不同的的方法进行分析评价。根据学生的认识状况，可能有如下几种方法： 等比数列{an},公比为q,它的前n项和错位相减法1：

错位相减法2

提出公比q 累加法

Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1n1na1qa1q2a1qn2a1qa1qqSn(1q)Sna1a1qn等比数列{an},公比为q,它的前n项和Sna1a2a3an1anqSna2a3an1ananq(1q)Sna1anq等比数列{an},公比为q,它的前n项和Sna1a2a3an1anSna1a1qa1q2a1qn2a1qn1a1q(a1a1qa1qn3a1qn2)a1q(Sna1qn1)(1q)Sna1a1qnan}等比数列{,公比为q,它的前n项和Sna1a2a3an1ana2a1qa3a2qa4a3qanan1qa2a3anq(a1a2a3an1)Sna1q(Snan)(1q)Sna1anq可能也有同学会想到由等比定理得

Sna1a2a3a2a3a1a2ananqan1a2a3anqa1a2an1Sa即 n1qSnan(1q)Sna1anq

【设计意图：共享学习成果，开拓了思维，感受数学的奇异美】 〔五〕．归纳提炼，构建新知。[时间设定：3分钟]

na-aq11提出问题8:由(1-q)sn=a1-a1qn得sn=对不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为

1-q1？q1时是什么数列？此时Sn？

【设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，增强思维的严谨性】提出问题9:等比数列的前n项和公式怎样?

a1(1qn)a1anq,q1,q1Sn1q学生归纳出Sn1q

na,q1na1,q11．

【设计意图：向学生渗透分类讨论数学思想，加深对公式特征的了解】 〔六〕层层深入，掌握新知。[时间设定：15分钟]

基础练习1已知an是等比数列,公比为q21(1)若a1=,q=,则Sn33(2).则a12,q1,则Sn

练习2 判断是非(1).1-2+4-8+16-23+-2nn1(12n)1(2)1(12n)(2).1222212a(1a8)238(3).aaaa1a

【设计意图：通过两道简单题来剖析公式中的基本量．进行正反两方面的“短、浅、快” 练习．通

过总结、辨析和反思，强化公式的结构特征．】

例1 已知数列an是等比数列,完成下表

题号 a1 q 1/2 2/3 -2 n 8 an 8 -96 Sn -63 〔1〕 1/2 〔2〕 27 〔3〕 【设计意图：渗透方程思想.通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力.掌握公式中”知三求二”的题型】

练习3：求等比数列1,1,1,1, 前8项和；

2481663 变式 1、等比数列1,1,1,1, 前多少项的和是；

2481664 变式2、等比数列1,1,1,1, 求第5项到第10项的和；

24816a2,a3, an, 变式3、等比数列a,求前2n项中所有偶数项的和。

〔先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬。)

【设计意图：变式训练,深化认识，增加思维的梯度的同时，提高学生的模式识别能力，渗透转化思想】．

练习4 有一位大学生毕业后到一家私营企业去工作，试用期过后，老板对这位大学生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一个月的工资为20元，以后每个月的工资是上月工资的2倍，此时，老板不假思索就选择了第二种方案，于是他们之间就订了一个劳动待遇合同。请你分析一下，老板的选择是否正确？

【设计意图：让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学．】

〔七〕总结归纳，加深理解。[时间设定：2分钟]

〔1〕等比数列的求和公式是什么？应用时要注意什么？

〔2〕用什么方法可以推导了等比数列的求和公式？

【设计意图：形成知识模块，从知识的归纳延伸到思想方法的提炼，优化学生的认知结构】 〔八〕课后作业，稳固提高。[时间设定：1分钟] 必做：〔1〕P66练习1

研究性作业：请上网查阅“芝诺悖论” 选做：求和：12222323424n2n

【设计意图：为了使所有学生稳固所学知识，布置了“必做题”；“选做题”又为学有余力者留有自由发展的空间，布置了“探究题”以利于学生开展研究性学习，拓展学生的视野．】

七、教学反思：

本节课立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明。充分表达以学生发展为本，培养学生的观察、概括和探究能力，遵循学生的认知规律，表达理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，探究能力的训练，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。