立体几何-空间角知识点

1.两条异面直线所成的角

（1）异面直线所成的角的范围：(0,2]。

（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线a,b 垂直，记作ab。 （3）求异面直线所成的角的方法：

（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。

2．直线和平面所成的角（简称“线面角”）

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。一直线垂直于平面，所成的角是直角；一

直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。直线和平面所成角范围：0，。 2（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

（3）公式：已知平面的斜线a与内一直线b相交成θ角，

APa12BcOb且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，则有cos1cos2cos 。 由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。 3．二面角

（1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l，两个面分别为,的二面角记为

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lOO'BB'AA'l。

（2）二面角的平面角：

过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA,OB，则AOB叫做二面角 ．．．．．．

l的平面角。

说明：①二面角的平面角范围是0,，因此二面角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。

②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直。 （3）二面角的求法：（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法） （二）间接法：面积射影定理的方法。 （4）面积射影定理：

面积射影定理：已知ABC的边BC在平面内，顶点A。设ABC的面积为S，它在平面内的射影面积为S1，且平面与ABC所在平面所成的二面角为(090)，则

00Scos1。

S注：①面积射影定理反映了斜面面积、射影面积 和这两个平面所成二面角的平面角间的关系；

ASABC可以推广到任意的多边形。

②在二面角的平面角不易作时，经常采用 “面积射影定理法”。

BDA1S1C

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