现代通信原理(罗新民)指导书 第五章 幅度调制系统 习题详解

5-1以占空比为1:1、峰 — 峰值为2Am的方波为调制信号，对幅度为A的正弦载波进行标准幅度调制，试

① 写出已调波SAMt的表示式，并画出已调信号的波形图；

② 求出已调波的频谱SAM, 并画图说明。

TAnTtnTm2解：① 令方波信号为f(t) n0,1,2,...，则

AnTTt(n1)Tm2T(AA)costnTtnTm02 (t)[Af(t)]cos0t(AA)costnTTt(n1)Tm02sAM其中n0,1,2,... 。

TA0tm2② 取方波信号一个周期的截断信号fT(t)，求得其傅里叶变换为

ATt0m2FT()jAmTSa(T4)sin(T4)

则根据式（2.17）可以得到方波信号的傅里叶变换为

F()j2Amn1(1)nn(2nT)

所以已调信号的傅里叶变换为 FAM()12F()[(0)(0)]A[(0)(0)](1)1nnjAmn[(o2nT)(o2nT)]A[(o)(o)]时域及频域图如下所示：

f(t)AmT2TtsAM(t)tSAM(w)A0Tw0w0w02Twj2Am/

5-2已知线性调制信号表示如下： ①S1(t)costcos0t ②S2(t)(10.5sint)cos0t

设06，试分别画出S1(t)和S2(t)的波形图和频谱图。

解题思路：对于形如题目所给信号，即可以表达为两个正弦波乘积的形式，一个为载频信号（频率较高，快变化）、一个为基带调制信号（频率较低，慢变化），均可以将慢变化基带信号看作包络，快变化载频看做高频振荡载波，以此作图。 解：

S1(t)=costcos0t

S1()2[(7)(5)(7)(5)]

j4[(7)(7)(5)(5)]S2()[(6)(6)]两信号的波形图和频谱图如下所示：

5-3已知调制信号的频谱为

F(f)(f/20) 载波信号为

C(t)cos200 t画出下列已调信号频谱的草图： ①双边带调制；

②调制指数为0.5的AM调制； ③传输上边带的单边带调制； ④传输下边带的单边带调制。 解：①已调信号频谱如图所示：

②由于

f(t)[F(f)]20Sa(20t)

1因此

|f(t)|max20

调制指数

m|f(t)|maxA020A00.5

这时的载波幅度应为

A040

因此作图如下：

③已调信号频谱如图所示：

④已调信号频谱如图所示：

5-4已知调制信号f(t)Acos2Ft，载波c(t)Accos2fct，实现DSB调制，试画出该信号加到包络解调器后的输出波形。

解：DSB已调信号波形及包络解调器输出波形如下图所示：

5-5试分析DSB解调当解调载波存在相位误差时对解调性能的影响

解：设调制载波为c0(t)cos(0t)，存在相位误差的解调载波为c(t)cos(0t)。

已调信号为

SDSB(t)f(t)cos(0t)

解调时：

SDSB(t)c(t)/LPFf(t)cos0tcos(0t)/LP1212f(t)[cos(20t)cos()]/LP f(t)cos()分析：当0时，cos()1，正确解调； 当0时，cos()1：

3或，cos()0，无输出；221，cos()1，输出-f(t)，反相，当f(t)是数字信号时影响解调；2110或32，cos()0，输出f(t)cos()，仍正比于f(t)但幅度小于f(t)；2222311，cos()0，输出f(t)cos()，是f(t)|cos()|的反相。2222

5-6若基带信号ft如图E5.1所示，用该信号对载波进行DSB调制，并将已调信号送入一包络检波器的输入端。试确定检波器的输出波形，并说明输出波形是否产生失真？若产生失真原因何在？怎么才能作到不失真检出？

图E5.1 解：检波器的输出波形如下图所示：

f(t)t2t1t3t

输出波形有失真。原因是已调信号包络没有包含全部幅度信息，信号有过零点，幅度信息还包含在已调信号相位上。当采用包络检波时，，只得到了部分幅度信息，因此有失真。 要想无失真，应对DSB－SC信号插入同频大载波A0cos0t ，A0|f(t)|max。

5-7用双音测试信号计算一个50 kW（未调制时）的AM广播发射机。发射机外接50Ω负载，测试信号m(t)=A1cosω1t＋A1cos2ω1t，f1=500HZ。试： ①计算AM信号的包络；

②确定90%调制（调幅指数m=90%）下的A1值

③确定90%调制时通过50Ω负载的电流峰值和电流有效值。

解：①未调制载波信号为c(t)A0cos0t，在外接50Ω负载的情况下信号功率为

P50000(A02)/50

2因此得到

A02236V

AM已调信号为

sAM(t)[A0m(t)]cos0t[A0A1cos1tA1cos21t]cos0t

因此AM信号包络为

2236A1cos1tA1cos21t

②根据定义，调幅指数可表示为

m|m(t)|maxA02A1A00.9

因此

A10.45A01006V

③通过50Ω负载的峰值电压为A02A11.9A04248.4V，因此电流峰值为

1.9A05085A，电流有效值为85260A。

5-8对基带信号m(t)进行DSB调制，m(t)=cosω1t＋2cos2ω1t，ω1=2πf1，f1=500HZ，载波幅度为1。试：

①写出该DSB信号的表达式，画出该波形； ②计算并画出该DSB信号的频谱； ③确定已调信号的平均功率。 解：①DSB信号的表达式为

SDSB(t)m(t)c(t)(cos1t2cos1t)cos0t

②该DSB信号的频谱为

SDSB()1212M()C()[(1)(1)2(21)2(21)]*[(0)(0)]

2[(01)(01)2(021)2(021)(01)(01)2(021)2(021)]③已调信号的平均功率为

PDSB1212SDSB()d(11221122)

23W

5-9 设SSB发射机被一正弦信号m(t)调制，m(t)=5cosω1t，ω1=2πf1，f1=500Hz，载波幅度为1。试：

①计算m(t)的希尔伯特变换m^(t)； ②确定下边带SSB信号的表达式； ③确定SSB信号的均方根（rms）值； ④确定SSB信号的峰值；

⑤确定SSB信号的平均功率。 解：① m(t)=5cosω1t，其傅里叶变换为

M()5[(1)(1)]

其希尔伯特变换的频谱为

ˆ()jsgn()M()Mj

因此m(t)的希尔伯特变换为

ˆ(t)H[m(t)]5sin1t m②下边带SSB信号的表达式为

ˆ(t)sin0tSLSB(t)m(t)cos0tm5cos1tcos0t5sin1tsin0t 5cos[(01)t]③以LSB信号为例：

rmsLSBSLSB(t)[5cos(01)t]2525222[1cos2(01)t] ④由LSB信号的表达式可以知道SSB信号峰值为

SSSB(t)|maxSLSB(t)|max5

⑤SSB信号平均功率为

PSSBSSSB(t)225212.5W

5-10若基带信号ft是由频率为f11000 Hz及f22000 Hz、幅度均为1 V的正弦波组成的双音频信号。用该基带信号对频率为100 kHz，振幅为2 V的正弦载波进行SSB调制。 ①试求已调波SSSBt的表达式及其对应的频谱； ② 画出已调波SSSBt的波形。 解：①已知基带信号为

f(t)cos(21000t)cos(22000t)

载波信号为

c(t)2cos(210010t)

3则DSB信号为

SDSB(t)f(t)c(t)2cos(21000t)cos(210010t)2cos(22000t)cos(210010t)cos(210110t)cos(29910t)cos(210210t)cos(29810t)333333滤去下边带，得SUSB(t)cos(202103t)cos(204103t)； 滤去上边带，得SUSB(t)cos(196103t)cos(198103t) 其频谱分别为

SUSB(f)[(20210)(20210)][(20410)(20410)]SLSB(f)[(19610)(19610)][(19810)(19810)]33333333②以SUSB(t)为为例：

SUSB(t)cos(20210t)cos(20410t)2cos(2101.510t)cos(2500t)333，

画图如下：

5-11设调制系统如图E5.2所示，为了在输出端分别得到f1（t）和f2（t），试确定接收端的c1(t)和c2(t)。

解：图中相加器的输出为f1(t)cos0tf2(t)sin0t，

c1(t)2cos0t时，右边上半支路输出为：

2cos0t[f1(t)cos0tf2(t)sin0t]/LPf1(t)(1cos20t)f2(t)sin20t/LP f1(t)c2(t)2sin0t时，右边下半支路输出为：

2sin0t[f1(t)cos0tf2(t)sin0t]/LPf2(t)(1cos20t)f1(t)sin20t/LP f2(t)

5-12设调制信号为ftAmcosmt，载波为CtA0cos0t，用该调制信号对载波进行标准幅度调制，试求当Am0,A04,A02,A0时，已调波SAMt的总功率和总边带功率，并对Am0时的结果进行讨论。

解：已知标准振幅调制信号为

SAM(t)[A0Amcosmt]cos0t

则已调波的总功率为

PAMS22AM(t)A022Am42

其中，载波功率为P0所以：

A02，边带功率PfBAm42。

Am0时，PAM＝AmA04A02A022,PfB0；3364916A0,PfB2时，PAMA20 ；64A0202Am时，PAMA,PfB22016；

AmA0时，PAM34A0,PfBA4。Am=0时，调制信号为0，因此已调信号就是载波，PfB＝0，P0=PAM。

5-13调幅发射机在500Ω无感电阻上的未调制功率为100W，而当以5V峰值的单音调制信号进行幅度调制时，测得输出端的平均功率增加了50%，设已调信号可表示为 SAM(t)A0[1AMf(t)]cos0t 试求

① 每个边带分量的输出平均功率； ② 调幅指数AM；

③ 已调波的最大值SAMt；

max④ ft的峰值减至2 V时的输出总平均功率。

|f(t)|maxA0解题思路：本题应注意，AM并不是表示

。对单音调制信号f(t),已调信号可表示

为SAM(t)A0[1AMAmcosmt]cos0t。

解：①由AM已调信号表达式可知载波为

c(t)A0cos0t

其产生的载波功率为

A0P022100 R因此

A010010 由于

f(t)Amcosmt

因此

SSAM2AM(t)A0[1AMAmcosmt]cos0t(t)A02214(A0AMAm)2

所以得到已调信号总功率为

2AMPAMA02S(t)A02R2R(A0AMAm)R24150W

其中载波功率P0R2＝100W，所以边带总功率为

(A0AMAm)PfBR224＝50W

故每个边带的平均功率为25W。

(A0AMAm)2②由①知PfBR4＝50W，并且

A02100，因此 RAMAm1

由于Am5，所以得到AM0.2。 ③|SAM(t)|maxA0(1AMAm)20010 ④A2V时，

'mPfBPfB'Am'22Am425，故

425PfB'508W

这时输出的总平均功率为：

PAMP0PfB108W

''

5-14图E5.3所示为多级调制产生SSB（每次取上边带）信号的频谱搬移过程，其中话音信号f(t)的频谱范围为300 ~ 3400Hz，f01500 kHz，f025 MHz，f03100 MHz，试详细画出信号的频谱搬移过程。

E5.2 解：频谱图如下所示：

5-15试计算相干解调时残留边带系统的输出信噪比。

解：残留边带系统相干解调的模型如图5.34所示，其中的带通滤波器H()这时应为残留边带滤波器HVSB()，其频谱图如图5.28所示。

由于Si(t)SVSB(t)，解调后So(t)所以解调信号输出功率

12f(t)

Soso(t)214f(t)

2根据式（5.77），加性高斯白噪声通过相干解调后输出噪声为

no(t)1214nc(t)

所以输出噪声功率为

No14nc(t)2ni(t)214Ni

其中，Ni为高斯白噪声通过残留边带滤波器HVSB()后的输出窄带噪声功率，HVSB()频谱如图5.28所示，可以得到输出噪声功率为：

Nin02no2|HVSB(f)|df2

[fofm(fofa)]no(fmfa)2所以

No14no(fmfa)

因此，残留边带信号相干解调后的输出信噪比为

(SoNo)VSBf(t)no(fmfa)2

5-16将振幅调制信号SAMt通过残留边带滤波器产生残留边带信号SVSBt，滤波器的传输函数HVSB如图E5.4所示。设调制信号为ftAsin100tsin6000t，试确定残留边带信号SVSBt的表达式。

图E5.4

解题思路：由于调制信号是双正弦波离散频谱，AM已调信号也是由若干离散频谱组成。通过HVSB()生成VSB信号时，只需考虑HVSB()对各离散谱线的衰减幅度，从而得到衰减后的输出离散谱线。

解：设载波为fc＝10kHz，则对应AM信号为

SAM(t)[Aof(t)]cosct

A(sin100tsin6000t)cos(20000t)Aocos20000t

A(sin201t00 0.5sint19900stin26000tAsoin1200004000t )含有10 kHz的载波分量和10.05 kHz、9.95kHz、13kHz、7kHz四个边频分量。

由滤波器传输函数特性知：

当f10kHz时，H(10k)0.5；

当f10.05kHz时，H(10.05k)0.50.050.55； 当f9.95kHz时，H(9.95k)0.60.050.45； 当f13kHz时，H(13k)1； 当f7kHz时，H(7k)0。

可以得到AM信号通过HVSB后的输出为：

SVSB(t)0.5Aocos(210000t)0.550.5Asin(210050t)0.450.5Asin(29950t)10.5Asin(213000t)00.5Asin(27000t)0.5Aocos(21010t)0.275Asin(210.0510t)0.225Asin(29.9510t)0.5Asin(21310t)3333

5-17已知振幅调制信号SAMt的总功率为200kW，调制信号ft的最高频率fm5 kHz，载波频率fo810 kHz，边带功率为40kW，信道中噪声的双边功率谱密度

Pnfn025105 (WHz)，系统采用包络检波解调。

① 画出系统框图，并标明频率关系；

② 解调器输入端信噪比SNi为多少？ ③ 解调器输出端信噪比SNo为多少？

④ 解调器信噪比增益GAM为多少？

⑤ 调幅指数m为多少？若提高m会有什么效果？ 解：①系统框图如下所示：

②解调器输入信号功率为

SiSAM20010W

3输入噪声功率为

Ni2f0fmf0fmPn(f)df25105(2510)1W

3故解调器输入信噪比为

(SN)i210

5③由式（5.110）知AM包络检波器输出信噪比为

(SN)0f(t)2n0fm2

而由式（5.13）知

f(t)2PfB240k8010W

23故解调器输出信噪比为

(SN)0801045105335100.810

5④

GAMPfBP0PfB(S(SNN)0)i0.4

⑤由AM40kW200kW0.2，及式（5.16）:AMAM2AM22得AM220.7

由于mAM|f(t)|maxA0。在载波幅度A0一定的情况下，提高调幅指数AM(即m)，

会使f(t)变大，从而提高GAM22f(t)Af(t)20222A02。 1f(t)2

5-18设某接收机的输出噪声功率为109W，系统采用相干解调，输出信噪比为23dB，由发射机到接收机之间的总传输损耗为100dB。试问： ①双边带调制时，发射机的功率应为多少？

②若改用单边带调制时，发射机的功率又为多少？ 解：由于(S0N0)dB23dB，所以S0N0102.3200。

①双边带调制：GDSB2，所以接收机输入信噪比

SiNi12S0N0100，

14而由式（5.83）及式（5.88）知接收机输入输出噪声功率关系为N0所以输出噪声功率为

Ni4109Ni，

W。

所以接收机输入信号功率为

Si100Ni4107W。

设发射机发射信号功率为St，则

10log10StSi3100dB

St410W②单边带调制：GSSB1，所以接收机输入信噪比

SiNiS0N0200

而输入噪声功率为

Ni4109W

所以输入信号功率为

Si200Ni8107W

故

10log10StSi3100dB

St810W

5-19设标准幅度调制系统中，调制信号为单音正弦信号，调制指数为0.8，采用包络检波法解调。若输出信噪比30dB，试求未调制时载波功率与噪声功率之比。 解：设单音信号为f(t)Amcosmt，载波为c(t)A0cos0t。 已知调制指数为AMAmA00.8，则调制制度增益为

GAM2f(t)Af(t)S0N020222A02Am222AM0.5 22Am2AM22由(S0N0)dB30dB可以得到

1000，因此解调器输入信噪比为

SiNi2S0N02000

由式（5.102）和式（5.71）知

22SiNiA0f(t)2NiA20Am221.32A0 2Ni2Ni2所以，未调制载波功率

A022与输入噪声功率之比为

A02Si2151531.8dB Ni1.32Ni

5-20设一个100%单音调制的AM信号和一个SSB信号，分别用包络检波器和相干解调器解调。若解调器输入端SSB信号的功率为5mW，在保证得到相同输出信号功率的条件下，

AM信号的输入功率应为多大？ 解：SSB相干解调：由GSSB1可以得到

而N014S0N014SiNi。

Ni，因此S0Si1.25mW。

2''AM包络解调：由于GAM2f(t)Af(t)20222A02A022，因此S02Si。 2''A03N03Ni2而由式（5.71）和式（5.109）得到输入噪声功率和输出噪声功率相等N0'Ni'， 欲使输出信号功率相同，即

S0S01.25mW

'则AM信号的输入功率应为Si

'32S01.875mW。

'5-21设信道中的噪声具有均匀的功率谱密度Pnf0.510 WHz，该信道中传输的是

3抑制载波的双边带信号，设调制信号ft的频带限制于5kHz，载频为100kHz，已调信号的功率为10kW。若接收机的输入信号在加至解调器之前先经过一理想带通滤波器，求：

① 此滤波器应该有怎样的传输特性H？ ② 解调器输入端的信噪比为多少？

③ 解调器输出端的信噪比为多少？

④ 求解调器输出端的噪声功率谱密度，并用图形表示之。

解：①该理想带通滤波器应使双边带已调信号完全通过，因此

195kHz|f|105kHzH(f)

0其它②已知解调器输入信号功率为Si10kW，而输入噪声率为

Ni2105k95kPn(f)df20.5103101010W

3因此解调器输入信噪比为

(SN)i1000

③由GDSB2可得(SN)02(SN)i2000

④设载频f0100kHz，相干解调器输出噪声为

n0(t)ni(t)cos0t/LPF

相当于输入窄带高斯噪声通过乘法器后低通滤波，因此输出噪声的功率谱可表示为

Pn0(f)14[Pni(ff0)Pni(ff0)]/LPF

而输入窄带高斯噪声的功率谱为

0.5103|f100kHz|5kHz Pni(f)0其他因此，输出噪声功率谱为

0.25103|f|5kHzPn0(f)

0其他 输入噪声和输出噪声功率谱如下图所示：

Pni(f) 0.5103 95 100 105 f (kHz) -105-100 -95 O Pn0(f) 0.25103 f (kHz) -5 O 5