函数周期性的几个重要结论

1、f(xT)f(x)( T0) yf(x)的周期为T，kT(kZ)也是函数的周期 2、f(xa)f(xb) yf(x)的周期为Tba 3、f(xa)f(x) yf(x)的周期为T2a 4、f(xa)1 yf(x)的周期为T2a f(x)1 yf(x)的周期为T2a f(x)5、f(xa)6、f(xa)1f(x) yf(x)的周期为T3a

1f(x)1 yf(x)的周期为T2a

f(x)17、 f(xa)8、f(xa)1f(x) yf(x)的周期为T4a

1f(x)9、f(x2a)f(xa)f(x) yf(x)的周期为T6a

10、若p0,f(px)f(pxpp) , 则T. 2211、yf(x)有两条对称轴xa和xb (ba)yf(x) 周期T2(ba) 推论：偶函数yf(x)满足f(ax)f(ax)yf(x) 周期T2a

12、yf(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0) (ba) yf(x) 周期T2(ba) 推论：奇函数yf(x)满足f(ax)f(ax)yf(x) 周期T4a

13、

yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)(ba)f(x)的T4(ba) 抽象函数的对称性

1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)

2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x) 易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例

函数的周期性 若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)

函数的对称性与周期性

性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|