任意项级数收敛性判别法

十五. 任意项级数收敛性判别法

判断∑an收敛性的线索: 1°an是否→0; 2°是否绝对收敛; 3°是否条件收敛.

绝对收敛判别方法: 对∑| an | 用正项级数判别法. 注意∑|an|发散时一般不能得到∑anan1发散, 但|an|或

n|an|≥1时∑| an |和∑an都发散.

an为连乘积时用检比法,和Raabe法, an为n次幂时考虑检根法和检比法, an单调时考

虑积分法. 以上方法困难时考虑比较法(找an的阶或比较级数)、级数运算、收敛原理、定义、Cauchy准则.

Leibniz判别法 若an↓0, 则交错级数∑(1)n+1an收敛, 其和s < a1, 余项| Rn| < an+1.

证 s2n = (a1  a2 ) + (a3  a4 ) + … + (a2n1  a 2n), s2n+1 = a1  (a2  a3 )  …  (a2n  a2n+1) = s2n+ a2n+1, 故s2n↑, s2n+1↓, 且0 < s2n < s2n+1< a1 , lim s2n与lim s2n+1存在, lim

(s2n+1 s2n) = 0. 因此s = lim sn, 且s < a1. 又, | Rn| = | (1) n (an+1  an+2 + an+3  … ) = an+1  an+2 + an+3  … < an+1.

Abel变换 a1 b1 + a2 b2 + … + anbn = s1 b1 + (s2  s1 ) b2 + … + (sn  sn1)bn = s1

(b1  b2 )

n1+ … + sn1 (bn1  bn) + sn bn =k1sk(bkbk1)+ sn bn, 其中sn = a1 + a2 +…+ an.

利用Abel变换, 把∑an bn的收敛问题化为∑sn (bn  bn+1)与{sn bn}的收敛问题.

tbfaaDi法 {sn}有界, bn↓0 (或↑0)∑an bn收敛. (对积分:有界,g↓0fg收敛.) bbfA法 ∑an收敛, {bn}单调有界∑an an收敛. (积分:a收敛, g单调有界afg收敛.)

n1n证 D法: 设 | sn |≤M, 则sn bn↓0,k1|sk(bkbk1)|≤Mk1bk  bk+1) = M (b1  bn)≤

(Mb1, 故∑sn (bn  bn+1)绝对收敛.

n1A法: 设sn→s, | sn|≤M, bn↓b, 则sn bn→sb,k1|sk(bkbk1)|≤M (b1  bn)≤M (b1  b).

注1. 用这三个判别法(L法是D法的特例)不能判断发散性. 当然, 如果已经用前面的方法得到∑| an |发散, 用这三个方法就能判断∑a n的条件收敛性, 但不能由此而误认为它们是条件收敛判别法

注2. 用D法证A法: ∑an 收敛{sn}有界; {bn}减、有界b使bn↓b bn  b↓0. 由D法, ∑an (bn b)收敛, 而∑ban收敛, 故∑an bn收敛. 类似地可证上册p.276.10.

n1*级数与广义积分 给定∑an, 定义阶梯函数f :[1,∞)为f (x) = an (n≤xbf|f|f= an, ∑an =1, ∑| an | =1, 故级数是特殊的无穷积分. 另一方面, 给定a(b是

奇

点或∞),

baf=

tlimatbfIHeine bn∈[a, b), bn→b:

blimannf= I (

bnafbkfk1k1nb, b0 = a )

bnf bn∈[a, b), bn→b: ∑bn1= I . 因此广义积分可表示为级数:

bafbnf=∑bn1( bn∈[a, b), bn→b, b0 = a ).

tbbnlimtffff当f >0时a关于t增,a=tba= I  bn∈[a, b), bn→b : lima= I . 特别地, 有 n11f= I nf= I (f > 0).

例1. 考察下列级数的绝对收敛性和条件收敛性: (1) ∑

n(n1)(1)212n1 (绝敛: | an |≤2n1(n100)nn|a|). (2) ∑(1) n2n1(绝敛:n→2).

x100x1(n)2(3) ∑(1) nn10(条敛: | an | ~n.x1002x(x100)xx(4) ∑(1) n sinn(x > 0) (条敛: | a n| ~n. n<0 (x>100), | an|↓0).

x, sinn↓0).

充分大时

x01xcos(n)xcosn22sinkxxk12sin2, (*)

sin(n1)x12coskx2k12sinx2, (**)

n例2. 考察下列级数的绝对收敛性和条件收敛性:

1(1) ∑(1) nnp. p≤0

1时an0, 发散. | an | =np, p>1时绝对收敛. p≤1时∑| an |发散,

0< p≤1时由L法收敛, 故条件收敛.

sin2n(2) ∑nsin2n. 发散. ∑n111cos2n=2∑n2∑n. 前者发散, 后者由

D法收敛:

1| cos 2 + cos 4 +… + cos 2n | = |2sin(2n1)1|12sin122sin1.

1sin12sinn

法收敛. 又, |n

sinn(3) ∑n. 条敛. | sin 1 + sin 2 + … + sin n | sin2nn, 由D|≥

sinn

, 由上例, ∑|n|发散.

sin2n*(4) ∑(1)nn. 条敛. (是交错级数, 但不能用L

11法判断收敛性.) =2∑(1) nn

1cos2n2∑(1) nn, 后者由D

法收敛: 在(**)式中以  x代x得

1sin(n1)(x)n22|(1)kcos2k|11n22cos1k1(2cosx2k11)k cos kx =2, ∴

.

例3. 证明: 若an↓0, 则 x∈(0, 2) ∑ansinnx和∑ancos nx收敛.

n证

|sinkx|k1n1sinx2| (x∈(0, 2)),

|coskx|1122sinxk12(x∈(0, 2)), 用D法.

条件收敛判断方法: 证∑| an |发散后用L、D、A法, 级数运算, Rn→0等证∑an收敛.

(1)n1

例4. (p.24.1(3)) ∑

p1nn. p≤0时an 0, 发散. | an | ~ n p, 故p >1时绝对收敛, 0<

p ≤1时∑| a n |发散. 为用L法, 需考虑0< p≤1时

f(x)1pxlnx1f(x)x2xln f (x) = (p +) ln x,

p1nn是否↑. 设 f (x) =

p1xx(x≥1), 则

, x充分大时f ' (x) > 0, 故n充分大时

p1nn↑, 由

L法收敛, 从而0 < p≤1时条件收敛.

或用A

(1)n1法: 0 < p≤1时∑npnnn1收敛, n≥1,↓(n >2时n>n1n n+1> (n +1) n

1 n > (1+n)n, 或仿上用导数).

*例~

(1)n5. (级数运算判敛) an = ln ( 1 +np). p≤0时an0, ∑an发散. 设p >0. 由| an |

(1)n|np1| =np, p > 1时∑an绝对收敛, 0 < p≤1时∑| an |发散. 由

1x  ln (1 + x) ~2x2(x→∞),

(1)n得np(1)n∑(np an ~

12n2p(1)n, 故∑(np an)当且仅当

(1)1p >2时收敛, 从而∑an = ∑npn

 an)当且仅当

1p >2时收敛.

11结论: p≤2时发散, 2< p≤1

时条件收敛, p > 1时绝对收敛.