一、选择题
1．4的平方根是（ ） A．16
B．2
，
C．±2
，π，4.217，
D．
2．下列各数：3.1415926，﹣，2.1010010001…（相邻两个1
之间依次增加1个0）中，无理数有（ ） A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
3．下列计算，正确的是（ ） A．a2•a2＝2a2 C．（﹣a2）2＝a4
B．a2+a2＝a4
D．（a+1）2＝a2+1
4．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内上应填写（ ） A．3xy
B．﹣3xy
C．﹣1
D．1
5．下列各式：①（x﹣2y）（2y+x）；②（x﹣2y）（﹣x﹣2y）；③（﹣x﹣2y）（x+2y）；④（x﹣2y）（﹣x+2y）．其中能用平方差公式计算的是（ ） A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
6．若（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，则整式M为（ ） A．﹣4xy
B．2xy
C．﹣2xy
D．4xy
7．若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值是（ ） A．12
B．72
C．±36
D．±12
8．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A．a（x﹣y）＝ax﹣ay C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 9．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0 B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1 C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0 D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
10．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC
11．如图，用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′，等于已知角∠AOB，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若△ACD的周长为50，DE为AB的垂直平分线，则AC+BC＝（ ）
A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm
13．下列几组数中，为勾股数的是（ ） A．4，5，6 C．7，24，25
B．12，16，18 D．0.8，1.5，1.7
14．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
15．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1
到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）
A．（）n•75° C．（）n﹣1•75° 二、填空题 16．已知x2＝64，则
＝ ．
B．（）n﹣1•65° D．（）n•85°
17．若2x＝3，4y＝5，则2x﹣2y+1的值为 ．
18．把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那…”的形式是 ．
19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
20．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是 ．
21．小亮是位足球爱好者，某次在练习罚点球时，他在10分钟之内罚球20次，共罚进15次，则小亮点球罚进的频数是 ，频率是 ．
22．若直角三角形的两边长分别为3和4，则第三条边的长的平方为 ． 23．若代数式x2+6x+8可化为（x+h）2+k的形式，则h＝ ，k＝ ． 24．如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为 ．
25．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，△ABP和△DCE全等．
三、解答题（26、27每题5分，28题共10分，29、30、31题每题8分，32题9分，33题12分） 26．计算：
27．计算：（x+3）（x﹣4）﹣x（x+2）﹣5 28．因式分解：
（1）﹣2x2﹣8y2+8xy； （2）（p+q）2﹣（p﹣q）2
29．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）+5xy]÷y，其中x＝﹣2，y＝1． 30．如图所示，小刚想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了0.8m，当他把绳子下端拉开4m后，发现下端刚好接触地面，小刚算了算就知道了旗杆的高度．你知道他是怎样算出来的吗？
．
31．已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°．
（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）连接DE，求证：△ADE≌△BDE．
32．“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形： A．仅学生自己参与； B．家长和学生一起参与； C．仅家长自己参与； D．家长和学生都未参与．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数． 33．问题情境：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；
（1）特例探究：如图②，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；
（2）归纳证明：如图③，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）拓展应用：如图④，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为18，求△ACF与△BDE的面积之和是多少？
参考答案
一、单选题（每题3分，共45分） 1．4的平方根是（ ） A．16
B．2
C．±2
D．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 解：∵（±2）2＝4， ∴4的平方根是±2， 故选：C．
2．下列各数：3.1415926，﹣
，
，π，4.217，
，2.1010010001…（相邻两个1
之间依次增加1个0）中，无理数有（ ） A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可． 解：无理数有π，故选：B．
3．下列计算，正确的是（ ） A．a2•a2＝2a2 C．（﹣a2）2＝a4
B．a2+a2＝a4
，2.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个0），共3个，
D．（a+1）2＝a2+1
【分析】根据同底数幂相乘判断A，根据合并同类项法则判断B，根据积的乘方与幂的乘方判断C，根据完全平方公式判断D． 解：A、a2•a2＝a4，故此选项错误； B、a2+a2＝2a2，故此选项错误； C、（﹣a2）2＝a4，故此选项正确； D、（a+1）2＝a2+2a+1，故此选项错误； 故选：C．
4．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为
□内上应填写（ ） A．3xy
B．﹣3xy
C．﹣1
D．1
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 解：∵左边＝﹣3xy（4y﹣2x﹣1） ＝﹣12xy2+6x2y+3xy． 右边＝﹣12xy2+6x2y+□， ∴□内上应填写3xy． 故选：A．
5．下列各式：①（x﹣2y）（2y+x）；②（x﹣2y）（﹣x﹣2y）；③（﹣x﹣2y）（x+2y）；④（x﹣2y）（﹣x+2y）．其中能用平方差公式计算的是（ ） A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
【分析】将4个算式进行变形，看哪个算式符合（a+b）（a﹣b）的形式，由此即可得出结论．
解：①（x﹣2y）（2y+x）＝（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2； ②（x﹣2y）（﹣x﹣2y）＝﹣（x﹣2y）（x+2y）＝4y2﹣x2； ③（﹣x﹣2y）（x+2y）＝﹣（x+2y）（x+2y）＝﹣（x+2y）2； ④（x﹣2y）（﹣x+2y）＝﹣（x﹣2y）（x﹣2y）＝﹣（x﹣2y）2； ∴能用平方差公式计算的是①②． 故选：A．
6．若（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，则整式M为（ ） A．﹣4xy
B．2xy
C．﹣2xy
D．4xy
【分析】根据完全平方公式，即可解答．
解：因为（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，（2x﹣y）2+4xy＝4x2+y2， 所以M＝4xy， 故选：D．
7．若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值是（ ） A．12
B．72
C．±36
D．±12
【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是2x和3y的平方，那么中间项为加上或减去2x和3y的乘积的2倍．
解：∵4x2+kxy+9y2是完全平方式， ∴kxy＝±2×2x•3y， 解得k＝±12． 故选：D．
8．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A．a（x﹣y）＝ax﹣ay C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； D、符合因式分解的定义，故本选项正确； 故选：D．
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0 B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1 C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0 D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
【分析】根据相反数是它本身的数为0；倒数等于这个数本身是±1；平方等于它本身的数为1和0；算术平方根等于本身的数为1和0进行分析即可．
解：A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题； B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，例如：﹣1的倒数也是﹣1，故是假命题；
C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，例如：1的平方也是1，故是假命题；
D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，例如：1的算术平方根也是1，故是假命题； 故选：A．
10．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF
≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC
【分析】求出AF＝CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 解：∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， ∴AF＝CE，
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
B、根据AD＝CB，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；
C、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误； D、∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C，
∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误； 故选：B．
11．如图，用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′，等于已知角∠AOB，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得． 解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′； ④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
在△OCD与△O′C′D′，O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD， ∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）， ∴∠A′O′B′＝∠AOB， 显然运用的判定方法是SSS． 故选：D．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若△ACD的周长为50，DE为AB的垂直平分线，则AC+BC＝（ ）
A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm
【分析】由垂直平分线的性质可求得AD＝BD，则△ACD的周长可化为AC+CD+BD，即AC+BC，可求得答案． 解：
∵DE为AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝50， 故选：C．
13．下列几组数中，为勾股数的是（ ） A．4，5，6 C．7，24，25
B．12，16，18 D．0.8，1.5，1.7
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可． 解：A、42+52≠62，不是勾股数； B、122+162≠182，不是勾股数； C、72+242＝252，是勾股数；
D、0.82+1.52＝1.72，但不是正整数，不是勾股数． 故选：C．
14．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
【分析】根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出CD的长，进而得出CH的长，即可得出答案． 解：∵车宽2.4米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高． 在Rt△OCD中，由勾股定理可得： CD＝
＝
＝1.6（m），
CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米， ∴卡车的外形高必须低于4.1米． 故选：A．
15．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1
到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）
A．（）n•75° C．（）n﹣1•75°
B．（）n﹣1•65° D．（）n•85°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数．
解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB， ∴∠BA1C＝
＝75°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°； 同理可得，
∠EA3A2＝（）2×75°，∠FA4A3＝（）3×75°， ∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°． 故选：C．
二、填空题（每题4分，满分40分，将答案填在答题纸上） 16．已知x2＝64，则
＝ ±2 ．
【分析】先根据平方根的定义求出x，再根据立方根的定义解答． 解：∵（±8）2＝64， ∴x＝±8， 当x＝8时，
＝
＝2，
当x＝﹣8时，所以，
＝＝﹣2，
＝±2．
故答案为：±2．
17．若2x＝3，4y＝5，则2x﹣2y+1的值为
．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而计算即可． 解：∵2x＝3，4y＝22y＝5， ∴2x
﹣2y+1
＝2x÷22y×2 ＝3÷5×2 ＝． 故答案为：．
18．把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那…”的形式是 “在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行” ．
【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论解答． 解：把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那…”的形式，
是“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”， 故答案为：“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”．19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为 63°或27° ．
【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．
解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D． ①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°， 底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；
②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°， 此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°． 故答案为：63°或27°．
20．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是 ∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处 ．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故答案为：∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
21．小亮是位足球爱好者，某次在练习罚点球时，他在10分钟之内罚球20次，共罚进15次，则小亮点球罚进的频数是 15 ，频率是 0.75 ．
【分析】根据频数的定义，知小亮点球罚进的频数，即小亮点球罚进的次数； 根据频率＝频数÷总数，进行计算． 解：根据题意，得
小亮点球罚进的频数即罚进的次数即15； 其频率是
＝0.75．
22．若直角三角形的两边长分别为3和4，则第三条边的长的平方为 7或25 ． 【分析】分两种情况：①当3和4为两条直角边长时；②当4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可． 解：分两种情况：
①当3和4为两条直角边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方＝斜边长的平方＝32+42＝25； ②当4为斜边长时， 第三边长的平方＝42﹣32＝7；
综上所述：第三边长的平方是7或25． 故答案为：7或25．
23．若代数式x2+6x+8可化为（x+h）2+k的形式，则h＝ 3 ，k＝ ﹣1 ． 【分析】二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方即可求解． 解：x2+6x+8＝x2+6x+9﹣1＝（x+3）2﹣1， 则h＝3，k＝﹣1． 故答案为：3，﹣1．
24．如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为 150cm ．
【分析】根据题意抽象出直角三角形，利用勾股定理求得彩色丝带的长即可． 解：如下图，彩色丝带的总长度为
＝150cm，
故答案为：150cm．
25．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 1或7 秒时，△ABP和△DCE全等．
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP＝2t＝2和AP＝16﹣2t＝2即可求得． 解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2， 根据SAS证得△ABP≌△DCE， 由题意得：BP＝2t＝2， 所以t＝1，
AP＝CE＝2， 因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP＝16﹣2t＝2， 解得t＝7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等． 故答案为：1或7．
三、解答题（26、27每题5分，28题共10分，29、30、31题每题8分，32题9分，33题12分） 26．计算：
【分析】根据实数运算的法则化简计算即可． 解：原式＝﹣2+2﹣＝﹣
﹣4
﹣3﹣1
．
27．计算：（x+3）（x﹣4）﹣x（x+2）﹣5
【分析】先根据整式的乘法法则算乘法，再合并同类项即可． 解：（x+3）（x﹣4）﹣x（x+2）﹣5 ＝x2﹣4x+3x﹣12﹣x2﹣2x﹣5 ＝﹣3x﹣17． 28．因式分解：
（1）﹣2x2﹣8y2+8xy； （2）（p+q）2﹣（p﹣q）2
【分析】（1）先提取公因数﹣2，再利用完全平方公式进行分解即可； （2）先利用平方差公式进行分解，再对括号内的式子进行合并即可．
解：（1）﹣2x2﹣8y2+8xy
（2）（p+q）2﹣（p﹣q）2
29．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）+5xy]÷y，其中x＝﹣2，y＝1． 【分析】原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 解：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）+5xy]÷y ＝[x2+4y2﹣4xy﹣x2+y2+5xy]÷y ＝5y+x，
当x＝﹣2，y＝1时， 原式＝5﹣2＝3．
30．如图所示，小刚想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了0.8m，当他把绳子下端拉开4m后，发现下端刚好接触地面，小刚算了算就知道了旗杆的高度．你知道他是怎样算出来的吗？
【分析】设旗杆高为x m，那么绳长为（x+0.8）m，由勾股定理得x2+42＝（x+0.8）2，解方程即可；
解：设旗杆高为x m，那么绳长为（x+0.8）m， 由勾股定理得x2+42＝（x+0.8）2，解得x＝9.6． 答：旗杆的高度为9.6 m．
31．已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°．
（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）连接DE，求证：△ADE≌△BDE．
【分析】（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，交AC于D，线段BD就是∠B的平分线；
②分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y画直线与AB交于点E，点E就是AB的中点；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，进而得到∠ABD＝∠A，根据等角对ED＝ED， 等边可得AD＝BD，再加上条件AE＝BE，即可利用SSS证明△ADE≌△BDE．解：（1）作出∠B的平分线BD； 作出AB的中点E．
（2）证明：
∵∠ABD＝×60°＝30°，∠A＝30°， ∴∠ABD＝∠A， ∴AD＝BD， 在△ADE和△BDE中∴△ADE≌△BDE（SSS）．
32．“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生
中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形： A．仅学生自己参与； B．家长和学生一起参与； C．仅家长自己参与； D．家长和学生都未参与．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 400 名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数； （3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数． 【分析】（1）根据A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、C、D三个类别人数求得B的人数即可补全条形图，再用360°乘以C类别人数占被调查人数的比例可得；
（3）用总人数乘以样本中D类别人数所占比例可得． 解：（1）本次调查的总人数为80÷20%＝400人， 故答案为：400；
（2）B类别人数为400﹣（80+60+20）＝240， 补全条形图如下：
C类所对应扇形的圆心角的度数为360°×
＝54°；
（3）估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为2000×＝100人．
33．问题情境：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；
（1）特例探究：如图②，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；
（2）归纳证明：如图③，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）拓展应用：如图④，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为18，求△ACF与△BDE的面积之和是多少？
【分析】（1）根据图②，求出∠BDA＝∠AFC＝90°，∠ABD＝∠CAF，根据AAS证两三角形全等即可；
（2）根据图③，运用三角形外角性质求出∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，根据ASA
证两三角形全等即可；
（3）根据图④，由CD＝2BD，△ABC的面积为18，可求出△ABD的面积为6，根据△ABE≌△CAF，得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，据此即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°， ∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°， ∴∠ABD＝∠CAF， 在△ABD和△CAF中，
，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）证明：如图③，∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF， ∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA， 在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（3）如图④，∵△ABC的面积为18，CD＝2BD， ∴△ABD的面积＝×18＝6， 由（2）可得△ABE≌△CAF， 即△ACF的面积＝△ABE的面积，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和， 即△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积6．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容