一、选择题（共18小题，共计54分）
1．已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|1﹣a|+
A．1
B．﹣1
C．1﹣2a
D．2a﹣1
的结果为（ ）
2．已知a是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（ ） A．3
B．﹣4
C．3或﹣4
D．5
3．关于x的方程（a﹣1）x2+A．a≠1
x+2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
C．a＞﹣1且a≠1
D．a≠±1
B．a≥﹣1且a≠1
4．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ） A．k≥﹣1且k≠0
B．k≥﹣1
C．k＞﹣1
D．k＞﹣1且k≠0
5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝3，x2＝4，则m+n的值是（ ） A．﹣10
B．10
C．﹣5
D．5
6．24000的黄浦江交通游览图上， 在比例尺为1：某隧道长约7cm，它的实际长度约为（ ）A．168km
B．16.8km
C．1.68km
D．0.168km
7．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（ ）
A．
B．BC2＝AB•AC
C．
D．
≈0.618
8．下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A．两个等边三角形 C．两个长方形
B．两个等腰直角三角形 D．两个正方形
9．数b是数a和数c的比例中项，若a＝2，c＝8，则数b的值为（ ） A．5
B．±5
C．4
D．±4
10．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
11．2018年4月12日上午，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，展示人民海军崭新面貌，激发强国强军坚定信念．如图，一艘补给舰位于一艘综合登陆舰P的北偏东60°方向，与综合登陆舰P的距离为40海里的A处，补给舰沿正南方向航行一段时间后，到达位于综合登陆舰P的南偏东30°方向上的B处，则此时补给舰所在位置B处与综合登陆舰P之间的距离为（ ）
A．30海里 B．40海里 C．40海里 D．80海里
12．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为60m，那么该建筑物的高度BC约为（ ）
A．80m B．60m C．80m D．60，BC＝
m ，则CD为
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2（ ）
A． B．2 C． D．3
14．当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45° 15．关于频率与概率有下列几种说法，其中正确的说法是（ ） ①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；
②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；
④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
16．如果抛物线A：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛
2
物线C：y＝x﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2x﹣1 C．y＝x2﹣2x D．y＝x2﹣2x+1
17．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
18．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
2
对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax+bx+c交于C、D两点，D点在x轴
下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＞﹣1． 其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（共6小题，共计18分） 19．计算：
×
+（
0
）＝ ．
20．用配方法解方程2x2﹣x＝4，配方后方程可化为（x﹣）2＝ ． 21．在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则cosB＝ ．
22．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于 ．
23．请将二次函数y＝﹣2x2+4x+5改写y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
24．如图，△ABC中，AB＝9，AC＝6，D在AB上，AD＝3，在AC上取一点P，问AP＝ 时，以A、P、D为顶点的三角形与△ABC相似．
三、解答题．
25．计算：（π﹣3）0+（）﹣1+
×﹣|﹣2|+
26．计算：cos245°+tan60°•cos30°﹣27．用配方法解方程：2x2﹣3x+＝0．
sin60°．
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣3＝0．
（1）求证：无论m取何值，该方程均有两个不相等的实数解；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥15，求m的取值范围． 29．小芳身高1.6米，此时太阳光线与地面的夹角为45°． （1）若小芳正站在水平地面A处上时，那么她的影长为多少米？ （2）若小芳来到一个坡度i＝小芳的影子恰好都落在坡面上？
的坡面底端B处，当她在坡面上至少前进多少米时，
30．将正面分别标有数字1、2、3、4、6，背面花色相同的五张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中随机抽取两张．
（1）用树状图或表格写出所有机会均等的结果，并求抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率；
（2）记抽得的两张卡片的数字为（a，b），求点P（a，b）在直线y＝x﹣3上的概率． 31．水果中的牛油果和桔子的维生素含量很高，因此深受人们喜爱，“农夫果园”水果商家11月份购进了第一批牛油果和桔子共300千克，已知牛油果进价每千克15元，售价每千克30元，桔子进价每千克5元，售价每千克10元．
（1）若这批牛油果和桔子全部销售完获利不低于3500元，则牛油果至少购进多少千克？ （2）第一批牛油果和桔子很快售完，于是商家决定购进第二批牛油果和桔子，牛油果和桔子的进价不变，牛油果售价比第一批上涨a%（其中a为正整数），桔子售价比第一批上涨2a%；销量与（1）中获得最低利润时的销量相比，牛油果的销量下降a%，桔子的销量保持不变，结果第二批中已经卖掉的牛油果和桔子的销售总额比（1）中第一批牛油果和桔子销售完后对应最低销售总额增加了2%，求正整数a的值．
32．如图，直线l：y＝﹣3x+8与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+9（a＜0）经过点B．
（1）求a的值，并写出抛物线的表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM， ①当点M（2，n）时，求n，并求△ABM的面积．
②当点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值和此时点M的坐标．
33．如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，BC＝6，点D与点A关于y轴对称，sin∠ACB＝．点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与A、D点重合），且∠CEF＝∠ACB． （1）求AC的长与点D的坐标． （2）说明△AEF与△DCE相似．
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．
2018-2019学年四川省遂宁市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共18小题，共计54分）
1．已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|1﹣a|+
A．1
B．﹣1
C．1﹣2a
D．2a﹣1
的结果为（ ）
【解答】解：由数轴可得：﹣1＜a＜0， 则|1﹣a|+故选：C．
2．已知a是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（ ） A．3
B．﹣4
C．3或﹣4
D．5
＝1﹣a﹣a＝1﹣2a．
222
【解答】解：把x＝a代入方程x﹣2x﹣3＝0得a﹣2a﹣3＝0，则a﹣2a＝3， 22
所以2a﹣4a﹣1＝2（a﹣2a）﹣1＝2×3﹣1＝5．
故选：D．
3．关于x的方程（a﹣1）x2+A．a≠1
x+2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
C．a＞﹣1且a≠1
D．a≠±1
B．a≥﹣1且a≠1
2
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x+
x+2＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，a+1≥0， 解得：a≥﹣1，且a≠1． 故选：B．
4．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ） A．k≥﹣1且k≠0
B．k≥﹣1
C．k＞﹣1
D．k＞﹣1且k≠0
2
【解答】解：根据题意得k≠0且△＝2﹣4k×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣1且k≠0． 故选：A．
5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝3，x2＝4，则m+n的值是（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣m，x1x2＝n， 即3+4＝﹣m，3×4＝n， 解得m＝﹣7，n＝12， 所以m+n＝﹣7+12＝5． 故选：D．
6．在比例尺为1：24000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7cm，它的实际长度约为（A．168km
B．16.8km
C．1.68km
D．0.168km
【解答】解：设隧道的实际长度是xcm，根据题意得：7：x＝1：24000． 解得：x＝168000cm＝1.68千米． 故选：C．
7．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（ ）
A．
B．BC2＝AB•AC
C．
D．
≈0.618【解答】解：设AB为整体1，AC的长为x，则BC＝1﹣x， 根据黄金分割定义，得
＝
，
所以选项A正确，不符合题意；
∵AC2
＝AB•BC，
所以B选项错误，符合题意； x2＝1×（1﹣x）
整理，得x2
+x﹣1＝0，
解得x1＝，x2＝
（不符合题意，舍去）．
∴
＝
所以C选项正确，不符合题意； ∵
＝
＝
≈1.618
所以D选项正确，不符合题意． 故选：B．
8．下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
）
A．两个等边三角形 C．两个长方形
B．两个等腰直角三角形 D．两个正方形
【解答】解：A、两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项错误；B、两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故本选项错误； C、两个长方形，四个角都是直角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项正确；
D、两个正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项错误． 故选：C．
9．数b是数a和数c的比例中项，若a＝2，c＝8，则数b的值为（ ） A．5
B．±5
C．4
D．±4
【解答】解：∵数b是数a和数c的比例中项， ∴b＝ac＝16， 解得：b＝±4， 故选：D．
10．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
2
A． B． C． D．
【解答】解：∵点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍． 点B的对应点B′的横坐标是a， ∴FO＝a，CF＝a+1， ∴CE＝（a+1），
∴点B的横坐标是：﹣（a+1）﹣1＝﹣（a+3）． 故选：D．
11．2018年4月12日上午，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，展示人民海军崭新面貌，激发强国强军坚定信念．如图，一艘补给舰位于一艘综合登陆舰P的北偏东60°方向，与综合登陆舰P的距离为40海里的A处，补给舰沿正南方向航行一段时间后，到达位于综合登陆舰P的南偏东30°方向上的B处，则此时补给舰所在位置B处与综合登陆舰P之间的距离为（ ）
A．30海里 B．40海里 C．40海里 D．80海里
【解答】解：如图：
过点P作PC⊥AB于点C，
根据题意，正南方向与正北方向平行得 ∠A＝60°，∠B＝30°，又AP＝40，
在Rt△APC中，PC＝AP•sin∠A＝40×在Rt△BPC中，PB＝2PC＝40
．
＝20
所以此时补给舰所在位置B处与综合登陆舰P之间的距离为40故选：B．
海里．
12．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为60m，那么该建筑物的高度BC约为（ ）
A．80m B．60m C．80m D．60m
【解答】解：根据题意，得 在Rt△ADB和Rt△ADC中，
∠BAD＝30°，∠DAC＝60°，AD＝60m， ∴BD＝AD•tan∠30°＝60×DC＝AD•tan60°＝60×∴BC＝BD+DC＝20
+60
＝60＝80m． ＝20m． m． m．
答：建筑物的高度BC约为80故选：C．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2（ ）
，BC＝，则CD为
A． B．2 C．，BC＝
，
D．3
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝2
根据勾股定理得：AB＝＝3，
∵△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，
∴S△ABC＝AC•BC＝B•CD，即AC•BC＝AB•CD， ∴CD＝故选：B．
14．当A为锐角，且＜cos∠A＜
时，∠A的范围是（ ）
＝2，
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45° 【解答】解：∵cos60°＝，cos30°＝∴30°＜∠A＜60°． 故选：B．
15．关于频率与概率有下列几种说法，其中正确的说法是（ ） ①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；
②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；
④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
，
【解答】解：①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大，此说法正确； ②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上，此说法错误； ③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖，此说法错误； ④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近，此说法正确． 故选：B．
16．如果抛物线A：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛
2
物线C：y＝x﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2x﹣1 C．y＝x2﹣2x D．y＝x2﹣2x+1
22
【解答】解：抛物线A：y＝x﹣2的顶点坐标是（0，﹣2），抛物线C：y＝x﹣2x+2＝2
（x﹣1）+1的顶点坐标是（1，1）．
则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C．
所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y＝（x﹣1）﹣2＝x﹣2x﹣1． 故选：B．
17．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
2
2
A． B．
C． D．
【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，
2
∴二次函数y＝ax+bx+c的图象对称轴x＝﹣
＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．
故选：A．
18．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
2
对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax+bx+c交于C、D两点，D点在x轴
下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＞﹣1． 其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣∴b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧， 而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧， ∴当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，所以②正确； ∵x＝1时，二次函数有最大值，
2
∴ax+bx+c≤a+b+c，
＝1，
∴x（ax+b）≤a+b，所以③正确；
2
D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3， ∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax+bx+c交于C、
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大， 即9a+3b+c＜﹣3+c， 而b＝﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④错误． 故选：B．
二、填空题（共6小题，共计18分） 19．计算：
×
+（
0
）＝ 3 ．
【解答】解：原式＝+1
＝2+1 ＝3． 故答案为3．
20．用配方法解方程2x2﹣x＝4，配方后方程可化为（x﹣）2＝ 【解答】解：由原方程，得 x2﹣x＝2， 配方，得
x2﹣x+（）2＝2+（）2，即（x﹣）2＝故答案是：
．
．
．
．
21．在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则cosB＝ 【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，tanA＝∴设BC＝x，则AC＝2x， 故AB＝∴cosB＝故答案为：
x， ＝．
＝
．
＝，
22．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于
．
【解答】解：∵5张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、等腰梯形，
∴其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形， ∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为．
故答案为．
23．请将二次函数y＝﹣2x2+4x+5改写y＝a（x﹣h）2+k的形式为 y＝﹣2（x﹣1）2+7 ．
222
【解答】y＝﹣2x+4x+5＝﹣2（x﹣2x+1）+2+5＝﹣2（x﹣1）+7， 2
故答案为y＝﹣2（x﹣1）+7．
24．如图，△ABC中，AB＝9，AC＝6，D在AB上，AD＝3，在AC上取一点P，问AP＝ 2或 时，以A、P、D为顶点的三角形与△ABC相似．
【解答】解：AD和AB是对应边时，△ADP∽△ABC， ＝即＝
， ，
解得AP＝2，
AD和AC是对应边时，△APD∽△ABC， ＝即＝
， ，
解得AP＝，
综上所述，AP＝或2． 故答案为：2或． 三、解答题．
25．计算：（π﹣3）0+（）﹣1+【解答】解：原式＝1+2+2＝2+3
+
．
sin60°．
+×
﹣|
﹣2|++1
﹣2+
26．计算：cos245°+tan60°•cos30°﹣【解答】解：原式＝
＝＝．
27．用配方法解方程：2x2﹣3x+＝0．
2
【解答】解：2（x﹣x+
﹣）+＝0，
2（x﹣）2﹣+＝0， 2（x﹣）2＝ （x﹣）＝x﹣＝±x＝
2
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣3＝0．
（1）求证：无论m取何值，该方程均有两个不相等的实数解；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥15，求m的取值范围． 【解答】（1）证明：∵△＝m﹣4（m﹣3） ＝m﹣4m+12
2
＝（m﹣2）+8， 2
∵（m﹣2）≥0，
2
∴（m﹣2）+8＞0，即△＞0，
2
2
∴无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意得x1+x2＝m、x1x2＝m﹣3， ∵2x1x2+x1+x2≥15 ∴2（m﹣3）+m≥15 解得m≥7．
29．小芳身高1.6米，此时太阳光线与地面的夹角为45°． （1）若小芳正站在水平地面A处上时，那么她的影长为多少米？ （2）若小芳来到一个坡度i＝小芳的影子恰好都落在坡面上？
的坡面底端B处，当她在坡面上至少前进多少米时，
【解答】解：（1）如图：由题意得：AD＝1.6米，∠DCA＝45°， 故AD＝AC＝1.6米，即小芳在A处的影子为1.6米； （2）∵斜坡BF的坡度i＝∴∠FBG＝30°，
设FG＝x米，则BF＝2x米， ∴BG＝
x米，
，
∴EG＝EF+FG＝（x+1.6）米， 在Rt△EBG中，∠EBG＝45°， ∴BG＝EG， ∴
x＝1.6+x，
，
＝
米．
解得：x＝
∴小芳在斜坡上的影子为2x＝2×
30．将正面分别标有数字1、2、3、4、6，背面花色相同的五张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中随机抽取两张．
（1）用树状图或表格写出所有机会均等的结果，并求抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率；
（2）记抽得的两张卡片的数字为（a，b），求点P（a，b）在直线y＝x﹣3上的概率． 【解答】解：（1）根据题意画树状图如下：
∵共有20种等可能的结果，抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的有12种情况， ∴抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率为：
（2）∵抽得的两个数字分别作为点P横、纵坐标共有20种机会均等的结果， 在直线y＝x﹣3上的只有（4，1），（6，3）二种情况， ∴点P（a，b）在直线y＝x﹣3上的概率为：
＝
． ＝；
31．水果中的牛油果和桔子的维生素含量很高，因此深受人们喜爱，“农夫果园”水果商家11月份购进了第一批牛油果和桔子共300千克，已知牛油果进价每千克15元，售价每千克30元，桔子进价每千克5元，售价每千克10元．
（1）若这批牛油果和桔子全部销售完获利不低于3500元，则牛油果至少购进多少千克？ （2）第一批牛油果和桔子很快售完，于是商家决定购进第二批牛油果和桔子，牛油果和桔子的进价不变，牛油果售价比第一批上涨a%（其中a为正整数），桔子售价比第一批上涨2a%；销量与（1）中获得最低利润时的销量相比，牛油果的销量下降a%，桔子的销量保持不变，结果第二批中已经卖掉的牛油果和桔子的销售总额比（1）中第一批牛油果和桔子销售完后对应最低销售总额增加了2%，求正整数a的值． 【解答】解：（1）设购进牛油果x千克，则购进桔子（300﹣x）千克， 根据题意得：（30﹣15）x+（10﹣5）（300﹣x）≥3500， 解得：x≥200．
答：牛油果至少购进200千克；
（2）根据题意得：30（1+a%）×200（1﹣a%）+10（1+2a%）×100 ＝[30×200+10×100]×（1+2%）
2
整理得：﹣a+20a＝140，
解得：a1＝10，a2＝
（不合题意，舍去）．
答：正整数a的值为10．
32．如图，直线l：y＝﹣3x+8与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+9（a＜0）经过点B．
（1）求a的值，并写出抛物线的表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM， ①当点M（2，n）时，求n，并求△ABM的面积．
②当点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值和此时点M的坐标．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣3x+8得y＝8， ∴B（0，8）．
把B（0，8）代入y＝ax﹣2ax+a+9， ∴8＝a+9， ∴a＝﹣1，
2
∴y＝﹣x+2x+8．
2
2
（2）令y＝0代入得：0＝﹣x+2x+8，
∴x＝﹣2或4，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣2和4． ∵M在抛物线上，且在第一象限内， ∴0＜m＜4，
令y＝0代入y＝﹣3x+8， ∴x＝，
∴A的坐标为（，0）．
2
①当x＝2时，代入﹣x+2x+8＝8，则M（2，8）即n＝8．
此时MB∥x轴，S△ABM＝×2×8＝8．
2
②由题意知：M的坐标为（m，﹣m+2m+8）．
S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
2
＝×m×8+××（﹣m+2m+8）﹣××8
＝＝
m2+
m．
．
．
∴当m＝时，S取得最大值
2
当m＝时，y＝﹣（）+2×+8＝
∴M的坐标为（，）．
33．如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，BC＝6，点D与点A关于y轴对称，sin∠ACB＝．点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与A、D点重合），且∠CEF＝∠ACB． （1）求AC的长与点D的坐标． （2）说明△AEF与△DCE相似．
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．
【解答】解：（1）由题意sin∠ACB＝， ∴cos∠ACB＝，
∵四边形ABCO为矩形，BC＝6， ∴AC＝
＝10，
∴A点坐标为（﹣6，0）， ∵点D与点A关于y轴对称， ∴D（6，0）；
（2）∵点D与点A关于y轴对称， ∴∠CDE＝∠CAO，
∵∠CEF＝∠ACB，∠ACB＝∠CAO， ∴∠CDE＝∠CEF，
∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠CDE+∠DCE， ∴∠AEF＝∠DCE，又∠CDE＝∠CAO， ∴△AEF∽△DCE；
（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当CE＝EF时， ∵△AEF∽△DCE， ∴△AEF≌△DCE， ∴AE＝CD＝10，
∴OE＝AE﹣OA＝10﹣6＝4， ∴E（4，0）；
②当EF＝FC时，如图所示，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点， ∴CE＝2ME＝2EF•cos∠CEF＝2EF•cos∠ACB＝EF．
∵△AEF∽△DCE， ∴
，即
，
解得，AE＝，
﹣6＝，
∴OE＝AE﹣OA＝∴E（，0）；
③当CE＝CF时，则∠CFE＝∠CEF， ∵∠CEF＝∠ACB＝∠CAO，
∴∠CFE＝∠CAO，即此时E点与D点重合，这与已知条件矛盾
综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（4，0）或（，0）．
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