初二数学二次根式的运算

中考要求

内容 基本要求 略高要求 较高要求 会进行二次根式的化简，会进行二次根式的理解二次根式的加、减、乘、除运算法二次根式的混合运算（不要求分 化简和运算 则 母有理化）

重难点

1. 二次根式a(a0)的内涵，a(a0)是一个非负数；(a)2a(a0)；a2a(a0)•及其运用． 2. 二次根式乘除法的规定及其运用． 3. 二次根式的加减运算．

例题精讲

模块一 二次根式的加减运算

二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式

进行合并．

二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变． 二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式； （2）找出并合并同类二次根式．

【例1】 计算：（1）3343 （2）1275 【难度】1星

【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次

根式应该先化简，再进行加减运算． （1）3343(34)373 ；

（2）12752353(25)373

【答案】（1）73 ； （2）73 ．

【巩固】712548＝______． 【难度】1星

【解析】712548723543143203(1420)363 【答案】63

【例2】 计算：

（1）28111348 1832 （2）1242724【难度】1星

【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．

1111337 （1）28 183222232424222(41)22；

24242221348 （2）12427

1

144122=2343343233123(212)33．

99997122【答案】（1）2； （2）3．

29

【巩固】计算：

ab11（1）630.1248 （2）8a3b18ab3 2ab【难度】2星

1223149【解析】（1）630.124863436343(64)33；

1001055ab1112a3b198a3b18ab3=2ab2ab2ab(23)2ab2ab． 2ab2ab22499【答案】（1）3； （2）2ab．

52

【例3】 如图，一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的

顶端下滑1m，那么它的底端是否也下滑1m？

（2）A 【难度】1星

【解析】如图所示，在RTABC中，由勾股定理，得BCAB2AC2． 当AC=8m时，BC102826m； 当AC=7m时，BC1027251m，

所以梯子的顶端下滑1m，它的底端滑动5161.1m．

【答案】梯子的顶端下滑1m，那么它的底端不是下滑1m，而是滑动1.1m．

CB

模块二 二次根式的混合运算

在进行二次根式的混合运算时，要注意几点： （1） 整式和分式的运算法则仍然适用．如

ab1aba()(a)ba； baabab（2） 多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．

乘法公式：(ab)(ab)a2b2；(ab)2a2b22ab．

【例4】 计算：

1322x31 （2）27x26xx2（1）2 35533x【难度】1星

2

73536； 2572226xx2（2）原式=3x33x3x2x32x3xx3x23xx3x．

33x6【答案】（1）；（2）23xx3x．

2

【例5】 计算：

【解析】（1）原式= （1）(3243)2 （2）(235)(235)

（3）(235)2(235)2 （4）(38)2011(38)2012 【难度】2星 【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．

（1）(3243)2(32)223243(43)2182464866246；

（2）(235)(235)

=[2(35)][2(35)]22(35)24(8215)482154215；

（3）(235)2(235)2

(235235)(235235)4(2325)8385 ；

（4）(38)2011(38)2012[(38)(38)]2011(38)(98)2011(322)322．

【答案】（1）66246； （2）4215； （3） 8385 ； （4）322．

212【巩固】（1）(23326)(23326) （2）121 335（3）(654321415)3 （4）(a3b3abab3)ab（a0,b0）

【难度】2星

【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化

成最简二次根式． （1）(23326)(23326)(2332)26(1218126)624126；

212537（2）12111；

3353752（3）(654321415)3 (636321415)3183233743554297125；

（4）(a3b3abab3)ab =a3bab3ababab3aba23abb2a3abb．

【答案】（1）24126； （2）1； （3）54297125； （4）a3abb．

【例6】 解方程或不等式:

222xx1（1）6x17x1 （2） 33【难度】2星

【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．

3

（1）6x17x1 （2）

67(76)x

222x x1332x322x

67 (222)x3 763 x13242 x

26 x

26【答案】（1）x13242； （2）．

2

x【巩固】已知a2a218a10，求a的值． a2【难度】2星

【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．

a 2a2a32a10

a52a10

2a2 a2 【答案】a2

模块三 二次根式的化简求值

m1m241【例7】 （2018年西城二模）先化简，再求值：，其中m3． 22m2m2m1m1【难度】1星

m1(m2)(m2)m1m241【解析】(m1)(m1)(m1)(m2)m2m2， 222(m1)m2m2m1m1m2 当m3时，原式=33213． 【答案】13

【例8】 （219年西城二模）先化简，再求值【难度】1星

xy2xy【解析】 2xyxyxy2x(xy)y(xy)2xyx2xyy2xy2xy(xy)2xy． (xy)(xy)(xy)(xy)(xy)(xy)(xy)(xy)(xy)(xy)xy2xy2xy，其中x33，y23． 2xyxyxy2当x33，y23时，原式=332331．

33235351【答案】

5

4

3x22xx【巩固】（2020年东城区一模）先化简，再求值：(2，其中x31． )x11xx1【难度】1星

3x22xx13xx2【解析】原式[， ]2(x1)(x1)x1xx1x1当x31时，原式【答案】13

3123313 3113【巩固】（2019年东城区二模）先化简，再求值：(2x1)2(x2)(x2)4x(x1)，其中x【难度】2星

【解析】原式4x24x1x244x24xx23 ．

33332715当x时 ，原式3 ． 32442233． 2【答案】

15 4

总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．

【例9】 已知xyx11，y，求2的值．

xy322322【难度】2星

【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．

11322(21)2， x=322(21)2，y322322yx221212yx)()(322322)236． 2(xyxy2121【答案】36

【例10】 已知x1x21，x1x21，求【难度】3星 【解析】

x1的值． x2x1x2(x1x2)2(x1x2)24x1x25，x1x25，

2222x1x12x1(x1x2)(x1x2)[(x1x2)22x1x2][(x1x2)(x1x2)]35． x2x22x12x1x22x1x22【答案】35 2

总结：该类题目直接将a，b（或a，b化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题

目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．

5

111的值． 122320112012【难度】2星

【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母

的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果．

【例11】 求原式=2132【答案】12503 201220111201212503．

【例12】 【巩固】求【难度】2星

【解析】原式=2[(21)(32)【答案】24503 (20122011)2(12012)24503．

2212232的值．

20112012

总结：解类似的题目时，要从特殊到一般，理清解题的规律：解题．

96aa2a22a1【例13】 当a，求代数式的值． a3a2a25【难度】2星

a1a1(3a)2a3【解析】原式=， a3a(a1)a(a1)1a,a(52)251

25a111a1a3a3，当a原式=a3时，原式=253251．

a(a1)a(a1)a25【答案】1

1nn1n1n，再利用这个公式1(ba)311【巩固】已知a ，b，求的值

2b32【难度】2星

ba11【解析】由题可知，ba0，原式=2b(ba)，当a ，b时，

2b32

112321(11)55530． 原式=

12236636225【答案】30 36

总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面

式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．

6

模块四 二次根式的大小比较

通过平方比较大小

【例14】 比较大小

1（1）12和3 （2）10和3

3【难度】1星

【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平

方大的反而小．

（1）(12)2322，(3)23，3223，123；

110100111（2）(10)210，(3)2()211，1011，103．

339993

【巩固】比较大小：7 48． 【难度】1星

【解析】略 【答案】

【巩固】实数7，22，3的大小关系是 ．（用“＞”表示） 【难度】1星

【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．

【答案】7223．

总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个

式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．

通过做差比较大小

【例15】 比较大小 65和85 【难度】2星

【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．

65(85)680，6585

【答案】6585

通过取倒数比较大小

【例16】 比较大小

（1）65和32 （2）20112010和20122011 【难度】2星

65(65)(65)1【解析】（1）65， 1656532(32)(32)132，

13232

7

11，6532； 653211（2）20112010，20122011，

201120102012201111， 2011201020112012，20112010201220116532，2011201020122011

【答案】（1）6532；（2）2011201020122011．

总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我

们知道n1nn2n1．

模块五 非负数性质的综合应用

二次根式a具有双重非负性，a0且a0，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．

【例17】 若x1(y4)20，则xy的值等于 ． 【难度】1星

【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察． 【答案】1

【例18】 如果y2x332x2，则2xy ． 【难度】1星

【解析】对二次根式非负性的直接考察． 解：注意到2x30，32x0， 02x30，2x30 2x3，y2 2xy5． 【答案】5

2x2【例19】 当x2时，化简．

12xx2【难度】1星

【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以

2x2 0．

12xx2因为x2，

2x22x22x 所以＝． 2212xx(1x)x1【答案】

2x x18

11【巩固】已知a0，求4(a)24(a)2的值．

aa【难度】2星

11【解析】原式(a)2(a) （*）

aa1 因为(a)20

a1 但(a)20

a1 故只有(a)20

a 即a1 a 又a0，所以a1 代入（*）得：原式=2． 【答案】2

【例20】 已知实数x，y，z满足4x4y1112yzz2z0，求(xz)y2的值． 34【难度】2星

【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．

1x24x4y10111 原式可化为4x4y1，解得y 2yz(z)0，2yz043211z0z22111(xz)y2()()20．

224【答案】0

1【巩固】已知实数a，b，c满足ab2bcc22c10，求a(bc)

2【难度】2星

【解析】略

1【答案】

4

课堂检测

【练习1】下列计算正确的是（ ）

A

236 B

235 C

842 D

422

【难度】1星

【解析】考察二次根式的运算．

9

【答案】A

【练习2】化简4x24x1(2x3)2得（ ）． A 2 【难度】1星

B

C

D

3【解析】 因为2x30，x,(2x3)22x3，，

2所以2x10，4x24x1|2x1|2x1

故4x24x1(2x3)22x1(2x3)2．故选A．

【答案】A

【练习3】先将【难度】2星

【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x的取值范围是x2．

原式x21x2x22x x2x2x22xx2x化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值． 3x2x2x2x2xx2x x2x2,取x4，原式＝2．

【答案】2（合理即可）

【练习4】设a32,b23,c52＝，则a，b，c的大小关系是（ ） A abc

【难度】2星 【解析】

Bacb

C cba

D bca

11321132，同理23,52 abc32(32)(32)111因为5223320，所以0,cba．故选A．

cba【答案】A

【练习5】已知【难度】2星

【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．

x3yx29x320，求

x1的值． y1 10

x3yx29x32x3y0x3， 0，x290，解得y1x30 x1312． y111【答案】2

课后作业

1. 化简

时，甲的解法是：33(52)52，乙的解法：

52(52)(52)3(52)(52) 52，以下判断正确的是（ ）． 5252A 甲的解法正确，乙的解法不正确 B 甲的解法不正确，乙的解法正确 C 甲、乙的解法都正确 D 甲、乙的解法都不正确

【难度】2星

【解析】甲是将分子和分母同乘以52进行分母有理化，乙是利用3(52)(52)进行约分，

所以二人都是正确的，故选C． 【答案】C

2. 计算：

（1）

【难度】1星

【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．

（1）原式2210311 （2） 322750.53227

1123 23112210323 5312323（2）原式a2(a2b2)b2(ab) b4ab 11

ab2a2b2baba2b2ab22b2abab a2abb322(ab)ab2b【答案】（1）5312233；（2）a2abb32b2(ab)ab2

3. 化简a1a

【难度】1星

【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知1a0，即

用分母有理化化简的第三步中1a应为1a．

原式a1aaaa1aa2a1aaa． 【答案】a

4. 已知x252，y1022，求x22xyy218(xy)的值．

【难度】２星

【解析】x2522(52)1022， x22xyy218(xy)(xy)218(xy)，把x1022,y1022代入得 原式=(10221022)218(10221022)402416． 【答案】16

5.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值． x1x11x2x 【难度】２星

【解析】原式x1x11x2x

x1x1x(x1)x(x1)x1 x当x2时，原式2； 当x3时，原式3．

12

故

． 【答案】化简的结果为x，当x2时，原式2；当x3时，原式3．

6. 设等式a(xa)a(ya)xaay在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数， 3x2xyy2求2的值．

xxyy2【难度】3星

a(xa)0xaa(ya)0a0【解析】由题可知，，解得，此时，原式变为xy0,xy,xy a0，

xa0ayay0a0y代入有3x2xyy23(y)2(y)yy23y2y2 把xy2y2x2xyy2(y)2(y)yy2y2y2y23y2， a、x、y是两两不同的实数，y0，原式13．

【答案】13

13