2018届高三上学期数学期末模拟试题02
（试卷满分150分 考试时间120分钟）
一、选择题（每题5分，共计60分）
1.若集合M{y|y2x},N{y|yA．{y|y1}
B．{y|y1}
x1},则MN=（ ）
C．{y|y0}
D．{y|y0}
（ ）
2．已知全集U＝R，AU，如果命题p：3∈A∪B，则命题“非p”是
A．非p：3A
B．非p：3∈CUB
D．非p：3∈（CUA）∩（CUB）
C．非p：3A∩B 3.“实数m1”是“直线l1:x2my10和直线l2:(3m1)xmy10相互平行”2的（ ）.
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则 锥体被截面所分成的两部分的体积之比为 （ ）
A．1∶3
B．1∶9
C．1∶33
D．1∶(331)
3x,x15.函数f(x)logx,x1 ，则yf(x1)的图象大致是（ ）
13 y 。 O y 。 O x y y x 。 O x A. B. C. D. 。 O x 6.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(3,1),n(cosA,sin若mn，且acosBbcosAcsinC,则角A,B的大小分别为 A．
A)，
（ ）
63, B．
2, 36C．
33, D．
, 367设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S48,S820,则a11a12a13a14（ ） A．18
2
B．17
12C．16
x
D．15.
8.下列函数：（1）y=x;(2)y=x;(3)y=2;(4)y=log2x.其中不是偶函数且在区间 （0， +∞）上也不是减函数的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3 9. 平面，直线b，m，且bm，则b与（ ） A.b B.b与斜交 C.b// D.位置关系不确定
- 1 -
- 2 -
10．在半径为R的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是 A．R B． 2R
73C．R
83D．
7R 6x3y6011. 不等式组表示的平面区域是（ ）
xy20
12．已知函数f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，
f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)cosx0的解集是 （ ）
A．(3,B．(2)(0,1)(2,3) ,3)
y O 1 2 3 22C．(3,1)(0,1)(1,3)
D．(3,,1)(0,1)( . 。。 x 2)(0,1)(1,3)
二、填空题（每题5分，共计20分）
13.定义在[－2，2]上的偶函数g(x),当x0时，g(x)单调递减，若g(1m)g(m)0,则
实数m的取值范围是 。
14．设M是△ABC内一点，且ABAC23，BAC30o，定义f(M)(m,n,p)，
141pmn其中、、分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积，若f(P)(,x,y)，则xy2的最小值是 。
15.当x= 时，函数f(x)xex取得最小值。
A1 B1 C16．如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD—A1B1C1D1内灌注
D 一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜根据 倾斜度的不同，有下列命题： （1）水的部分始终呈棱柱形； A （2）水面四边形EFGH的面积不会改变； E （3）棱A1D1始终与水面EFGH平行；
（4）当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值。 其中所有正确命题的序号是 .
F B C 三、解答题（共计70分，其中17题10分，其它各题均为12分）
- 2 -
- 3 -
.17．（本小题10分）已知p：|1－
x－122
|≤2，q：x－2x＋1－m≤0(m＞0)，且┐p是┐q的必3
要而不充分条件，求实数m的取值范围．
xxxxxx
18.(本小题满分12分)已知AC＝(cos＋sin，－sin)，BC＝(cos－sin，2cos).
222222
(1)设f(x)＝AC ·BC，求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
2n*
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)=a1x+a2x+„+anx(n∈N)，且a1，a2，a3，„，an构成数
2
列{an}，又f(1)=n．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：f()1．
20
20．(本小题满分12分)已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为
3
2
，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程． 2
21．(本小题满分12分).如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正
视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．
(1)求四棱锥P-ABCD的体积； (2)证明：BD∥平面PEC；
(3)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.
13ex22．(本小题满分12分)．设函数f(x)
x（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若k0，求不等式f'(x)k(1x)f(x)0的解集．
- 3 -
- 4 -
答案
1.若集合M{y|y2x},N{y|yA．{y|y1} 答案：C.
2．已知全集U＝R，AU，如果命题p：3∈A∪B，则命题“非p”是
A．非p：3A
B．非p：3∈CUB
D．非p：3∈（CUA）∩（CUB）
C．非p：3A∩B 答案:D 3.“实数m（ ）
B．{y|y1}
x1},则MN=（ ）
C．{y|y0}
D．{y|y0}
1”是“直线l1:x2my10和直线l2:(3m1)xmy10相互平行”2的（ ）.
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A.
4．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为 （ ）
A．1∶3
B．1∶9
C．1∶33
D．1∶(331)
答案：D
3x,x15.函数f(x)logx,x1 ，则yf(x1)的图象大致是（ ）
13 y 。 O y 。 O x y y x 。 O x A. B. C. D. 答案：B.
。 O x 6.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(3,1),n(cosA,sin若mn，且acosBbcosAcsinC,则角A,B的大小分别为 A．
A)，
（ ）
63, B．
2, 36C．
33, D．
, 36答案：D.
7设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S48,S820,则a11a12a13a14（ ） A．18
- 4 -
B．17 C．16 D．15
- 5 -
答案：C.
8. 下列函数：（1）y=x;(2)y=x;(3)y=2;(4)y=log2x.其中不是偶函数且在区间（0，+
2
x
12∞）上也不是减函数的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案：D
9. 平面，直线b，m，且bm，则b与（ ）. A.b B.b与斜交 C.b// D.位置关系不确定 答案：D
10．在半径为R的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好
都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面 运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）
A．R B． 2R 答案：A
73C．R
83D．
7R 6x3y6011. 不等式组表示的平面区域是（ ）
xy20
答案：B
12．已知函数f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，
f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)cosx0的解集是 （ ）
A．(3,B．(2)(0,1)(2,3)
y O 1 2 3 ,3)
22C．(3,1)(0,1)(1,3)
D．(3,,1)(0,1)( . 。。 x 2)(0,1)(1,3)
答案：B
13.定义在[－2，2]上的偶函数g(x),当x0时，g(x)单调递减，若g(1m)g(m)0,则
实数m的取值范围是 。 答案：1m1 214．设M是△ABC内一点，且ABAC23，BAC30o，定义f(M)(m,n,p)，
- 5 -
- 6 -
141pCmnf(P)(,x,y)其中、、分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积，若，则A1 xy2的最小值是 。
答案18
15.当x= 时，函数f(x)xex取得最小值。
A E DF B B1 C 答案：-1.
16．如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD—A1B1C1D1内灌注 一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜根据 倾斜度的不同，有下列命题： （1）水的部分始终呈棱柱形；
（2）水面四边形EFGH的面积不会改变； （3）棱A1D1始终与水面EFGH平行；
（4）当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值。 其中所有正确命题的序号是 . 答案①③④；
x－122
17．（本小题10分）已知p：|1－|≤2，q：x－2x＋1－m≤0(m＞0)，且┐p是┐q的必
3
要而不充分条件，求实数m的取值范围．
x117．解法一：由p：|1－3|≤2，解得－2≤x≤10
∴“非p”：A＝｛x|x＞10或x＜－2｝．--------------3分
22
由q：x－2x＋1－m≤0，解得1－m≤x≤1＋m（m＞0）
∴“非q”：B＝｛x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0｝-----------3分 由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：AB． m01m21m10 解得0＜m≤3．
∴满足条件的m的取值范围为{m|0＜m≤3｝．------------10分 解法二：本题也可以根据四种命题间的关系进行等价转换． 由“非p”是“非q”的必要而不充分条件． 即“非q”“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换为它的逆否命题：“pq，但qp”．
即p是q的充分而不必要条件．
x1由|1－3|≤2，解得－2≤x≤10，
∴p＝{x|－2≤x≤10}
22
由x－2x＋1－m＞0，解得1－m≤x≤1＋m（m＞0） ∴q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}
由p是q的充分而不必要条件可知：
m01m21m10qp 解得0＜m≤3．
- 6 -
- 7 -
∴满足条件的m的取值范围为{m|0＜m≤3}．
xxxxxx18.(本小题满分12分)已知AC＝(cos＋sin，－sin)，BC＝(cos－sin，2cos). 222222
(1)设f(x)＝AC ·BC，求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
2ππ
－，，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值. (2)设有不相等的两个实数x1，x2∈2218、解：(1)由f(x)＝AC·BC得
xxxxxxf(x)＝(cos＋sin)·(cos－sin)＋(－sin)·2cos
222222xxxx
＝cos2－sin2－2sincos 2222＝cosx－sinx π
＝2cos(x＋)，
4
所以f(x)的最小正周期T＝2π.-------------------6分 π
又由2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z，
4π3π
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
44
π3π
故f(x)的单调递减区间是[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z).---------8分
44ππ2
(2)由f(x)＝1得2cos(x＋)＝1，故cos(x＋)＝.
442
πππ3ππ
－，，于是有x＋∈－，π，得x1＝0，x2＝－， 又x∈224442π
所以x1＋x2＝－----------12分.
2
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)=a1x+a2x+„+anx(n∈N)，且a1，a2，a3，„，an构成数
2
列{an}，又f(1)=n．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：f()1．
19．（1）由题意：f(1)=a1+a2+„+an=n，(n∈N)
n=1时，a1=1
n≥2时，an=(a1+a2+„+an)-(a1+a2+„+an-1)=n2-(n-1)2=2n-1
*
∴对n∈N总有an=2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1.-------6分
2
*2
n*
13111132(2n1)n
333311111 f() 12(2n3)n(2n1)n1------8分 33333(2)f()1- 7 -
- 8 -
211111112f()12(23n)(2n1)n133339333322n21n1n1,f()1n13333113n1(2n1)113n11-----3-----------12分
20
20．(本小题满分12分)已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为
3
2
，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程． 2
c
20． 解：∵e＝＝a
a2－b22
，∴a2＝2b2. 2＝a2
因此，所求椭圆的方程为x2＋2y2＝2b2，-------------2分 又∵AB为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB的中点， 设A(2－m,1－n)，B(2＋m,1＋n)，则
(2＋m)＋2(1＋n)＝2b，
20|AB|＝2 3
2
2
2
2
2
2
(2－m)2＋2(1－n)2＝2b2，
8m＋8n＝0，
⇒2m＋n＝2
228＋2m2＋4＋4n2＝4b2，
203
-----8分
2b＝6＋m＋2n，⇒2得2b2＝16. 210m＝n＝3，故所求椭圆的方程为x2＋2y2＝16.------------12分
21．(本小题满分12分).如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正
视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．
(1)求四棱锥P-ABCD的体积； (2)证明：BD∥平面PEC；
(3)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.
21． 解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，
- 8 -
- 9 -
ex22．设函数f(x)
x（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若k0，求不等式f'(x)k(1x)f(x)0的解集． 22.解： (1) f(x)'1x1xx1x'eee, 由f(x)0,得 x1. 22xxx因为 当x0时,f'(x)0； 当0x1时,f'(x)0； 当x1时,f'(x)0；
(0,1].--------------6分 所以f(x)的单调增区间是:[1,)； 单调减区间是: (,0)，x1kxkx2x(x1)(kx1)xe0, 由 f(x)k(1x)f(x)e22xx' 得：(x1)(kx1)0. -------------9分 故：当 0k1时, 解集是：{x1x}；
- 9 -
1k- 10 -
当 k1时，解集是： ；
当 k1时, 解集是：
{x1x1}k.-------------------12分
- 10 -
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