弹性地晨作用下计算多层建筑扭转祸联振动的一种方法何广乾【提方法,林春哲张凯,(中国建筑科学研究院)要】本文首先简单地回顾了多自由度体系的弹性地震反应〔然后根据多自由度体系的弹性地震反应公式和摄动理论”,采用将扭转祸联低振型近似地表示为非辆联振型线性组合的,来求出扭转锅联振型。。在此基础上,可以建立计算多层建筑结构考虑扭转祸联振动的弹性。地震作用公式计算比较精确和方便可在实际工程中应用一近年来用小震不坏,、、引言,我国建筑抗震设计规范的内容有许多的充实和提高在建筑抗震设计中即将采,大震不倒的原则。对于小震则要求建筑结构物仍处于弹性工作阶段并将引入基于可靠度理论的弹性分析方法的要求,。对于大震则考虑建筑结构物允许进人弹塑性阶段,引用变形指标或损坏指标来验证建筑结构抗震设计的安全性在建筑结构抗震设计计算中,使其不致倒塌。因此针对处干小震不坏进行弹性分析仍有其必要性。二对于式中N、集中质量多自由度体系的地震反应,〔一)动力平衡方程层建筑物a,在地面运动作用下。·2仅一个方向平动时,其运动微分方程可写作(21)肚`+C云+万一成u兀u~一万{1}左。g〔二鱿::”一饥们]iT质量矩阵~[1u,一……Z舰N相对位移」e二T{}一〔1:1eagC一d￡〔e……〕阻尼矩阵(22)KNxN阶对称的刚度矩阵,(二)集中质且多自由度的地震反应在集中质量多自由度的线性体系的动力分析中自由振动的振型构成了N个独立的位移,模式。因此,相对位移“可以表示为振型的线性组合“即(23)。“’一N月,;Z“`’毋,一必Z在此式中如果将(眨,振型矩阵必起着将广义坐标Z转换成几何坐标心的作用23),式代入(“、21)式,然后用必左乘方程两边的每一项T,如果选取阻尼矩,a阵c一对十月K月是任意的常数利用振型关于衬的正交性K,Zz,,,此时(.21)式可(24)(2写作M一21+C,Z,+-一下,成,一或者,药+“昌山乙+。,于一谧“,5)式中,~必了M必,肚一必了工必,,,,C必”Cl一必了,,lK~必了衬{1}、(26)它们分别称为第j振型的正规坐标的广义质量广义阻尼、广义刚度1,、振型参与系数2。如果选取振型必关于质量矩阵对是正交规一化的的简化。,,此时有M一地震作用计算能得到进一步5)利用求单自由度位移反应的公式川Z,下,,多自由度集中质量体系(式,第j振型(27)。。反应可写作。]M,,Vl(t)式中,v,(t)是地震反应Duhamel积分它依赖于第j振型的阻尼6和频率叨由所有振型反应引起的相对位移采用振型叠加法可得到一利用弹性力和惯性力的等效以写成,艺,.,乙必~艺1,下夕2,-,QzM,V,(云)必,(28)由相对位移所引起的弹性地震作用可以写作了~艺“~K必Z自由振动的特征值和特征向量之间的关系了~.:(29),弹性地震作用也可(210)。万必A’ZT,第夕振型的最大位移其中S。,利用(28)式,,可写作:U(,,,。~必,了,凡(若)/M,。(211)乙,T,)为相应于第j振型的阻尼和周期的位移反应谱的谱值第j振型的最大弹性地震反应为fS。.,,二a:,一必,下,又(舀,T,)/M,(212)。(昌,T,)为第j振型的阻尼和周期的加速度反应谱的谱值三N、多层建筑结构的地震反应,,层建筑结构K,,当考虑扭转藕联作用且假定每层有三个自由度(二个平移一个旋转)。则总共有3N个自由度K,如果仅考虑X方向有地震地面运动,此时运动方程可写作`内动e,K。,K二兀用矩阵形式,了「叫JL口岁若口t兀二K百K可以简写为!}“,」}!+「L“J飞不mJL公夕1}}1一「m{一1}云。}0(31)KU十叮U一一叮B龙,(32)式中u~〔u、、u:u,…………“:u二〕T夕一〔0公8.2a.;3,T夕」~〔v、:3一饥,3·”N」饥二〕N,mag〔仇~d乞饥J1Z……·:ag〔JJ~d争J·一1lJ〕00”B~王11一0一O000“一O}甲(3NX)。(33)这里,有效地震作用万B的ZN个分量为零求解3法)式的方与1)设相对位移(相类似(函数U可以用振型函数展开表示式,,u一艺l`必.2一必艺(34)式中必必~【`。`(1)”一必一`(N),必e.(1))“一必e`(N)必,`,(1)……必`(对)〕r(3NX(35)不失一般性,为计算简单起见``本文在下面均假设振型必关于质量矩阵万是正交规一化的,即是必罗对必一氏、3如果将(4,)代入(32)式然后再用必,左乘(3*2)式两边所有的项,可用分量形(36)式写成3N个非祸联的常系数二阶微分方程组Z,Z,一下,+。子龙。r夕一1,3N其有效地震作用万B,振型分解后的右端项为必,,万B,相应第j振型参与系数可表示为`,万B一艺丸(葱)m一必罗,(37),从(振型的3Nx37)式可以看出,对于多层建筑结构。,当仅考虑X方向地面运动时为仅与乡*方向的振型分量有关阶多层建筑结构j振型的最大相对位移最大弹性地震作用的公式与N个自由度集中,质量体系j振型的最大相对位移型的最大位移为最大弹性地震作用的公式(U,,2n)和()22)相似1,j振。。:~必,s*。,,.5`(若,j,T,(58)第j振型的最大弹性地震作用为f式中了``,。,二a:~,万必,,s(套,,T)(59),,。一「ff二二,,f了,f畜〕fffS`:,,=[了,(~〔了,(`。:二i1zI,)))fs二,(2)22…………了,(N)〕r:二:。,了,(了,(T,):,:e))了`。,(刃)〕r:,,一〔了,(。:,……了,(刃)]`,r(310)。(杏,,T,)和S(普分别相应第j振型的阻尼和周期的位移反应谱和加速度反应谱在利用(了,(:二39)式计算地震作用时。,写出分,量的表达式有时更方便一些云)=下,.nt`,笋厂时1,甄e,,(玄)S。。(若,,,TT,))了,(主)一,了,(s,se,**J必(乞)S,(套。落)一下,,。`少,(乞)S(若T,,)(311)当多层建筑结构所示islo。,对于任一方向作用有地面运动假定地面运动作用的方向与甘轴成月角如图n`3’对于这个问题式中B一〔sin月,忽略阻尼影响时s,ELW0已经写出了运动微分方程为(312)0eos兀u+in万材一一万B月0··`。月sin一月cos月cos月〕TX3NI,)(3,13)任一方向作用有地面运动时型参与系数为夕其有效地震作用的基本形式与前面的类似N相应于第夕振下,万B一万一毋了`.毋二,(1云)饥,`sin月+艺必云.1,,(云)饥`eos月一弓,sin月+工、,下言eos月(314)从(与34)式可以看出1月有关、。j振型的振型参与系数与j振型在梦方向的振型分量和其对轴的夹角四扭转祸联建筑结构地震作用的一种简捷计算法,从前面的分析可以看出层建筑结构的自由振动问题要想获得扭转祸联建筑结构的地震作用当建筑结构的层数较多时。,必须求解扭转藕联多,,利用小型或微型计算机求解往往在存贮上遇到一些困难法1,而且计算时间也较长,本文利用多层建筑结构特征方程的摄动解22’〔`’,按下面的步骤进行。将特征方程写作(兀一。叮)毋=0(42)式中K~大十E(12)式一。「{LK,__「0E一ILK甲公T二。KK。。归`,`K。1KO(43)K石O首先,假定E一0,此时特征方程为〔兀[K[K:二一。墓m二X=0一。吕J三夕=O,一a,(工ta)))。。(工(4仁b,e,。纂m]Y=0,如果令(X,,。x,)、(夕,,。,,),、(Y,。,)分别为(44x、a)、、(4迄b)、(,,生C)的特征对(特征值和特征向量),(0夕,0>作
r、此时相应于非祸联N个夕N甘方向的振型求解(。分别可写)式的特征47、<0OY“。!丫,(夕=1,)。4一1对可直接利用里兹向量直接叠加法进行分析’能大大提高收效的速度非祸联振动(4)式求解后,利用摄动分析,再考虑E的作用,多层建筑结构弯扭祸联振动的振型必可以近徽「OJ.的表示为非祸联振型的线性组合。*e二可以写作,「X1_「0O拭,J..es)oLO用矩阵形式,1+C1(45(45)式可以简写为必一,,C(46)式护「X,r00o1{,叭(46)式的,一…LO0氏OC一叩,·c;q〕子(17)Y」,振型是相应于弯扭非偶联振动体系的振型,可以看作里兹振塑,C可以看作。是广义坐标向量弯扭祸联振动体系的振型可以用一组假定的里兹振塑来表示如果将(工)7式代入暇定X则(4式,,,1),了左乘((4然后用41)式的两边所有的项,则可以得到(4(,了兀护,一砂,,了万,即,)C一O8)le,Y,振型满足对爪的规一化,X了mX~邺了J夕~Y了my,一1(49)8)式可以写作“二I一。2X罗K,O,,乳:X了K夕了兀。o,。rY:毒一。-「几1门J.尸..Lle0,.J.对称上式是一个1,,一。井,lCeq一l。(410)3阶特征方程,,对于任一固定的j「C二X其弯扭祸联的特征频率可表示为`二,(K~2,3)相应的振型表示为毋,、~}C。,;夕`L4,11LC,二,Y如果C是规一化的,利用(49)式T,可以验证二,,二,二,,K,JO,+C;必孟mX+C二夕了万必一C二X了Ymy了,一CC一1。(412)即是说,必K,关于万也是规一化的。文献〔6〕已经说明此种简捷计算扭转祸联振型的方法具,有较高的准确性利用简捷方法所得到的频率和振型。可计算地面运动时产生的结构楼层最大相对位移写作,及相应于最大相对位移的地震作用相应于Kj振型的楼层最大相对位移可以r二,U式中`,~必`,,,二,S`二,(苦)(连一3)二,一姚{L`fm{0Oz}11J1-(414)如果把(’`’4n,)式代入(414)式这时下。可以写作「m{}c二’X`一仁c一“`Tc一Y:二,下r,〕{:(415)。一几:,J罗魏{(413i}一C,,利用(45)式1U几,,)式可以改写为。,。~诬万]、~七二凡s下二J百`,L心五J),尹`J二一.L二SK少下:ja`(睿,,T二,一一二二牙刀压I)`对应于Kj振型的弹性地震作用表达式可以写作`.eseLsler一lJ协,`J(416)Pl了」一.L胜l五一!卜“知m「}JL。`,m}叭,,!仇兀,一口别。7`二,T二,)二(杏,K,一下瘫万一一少Sa一二`ii,,z`「`L,x,,X,cS}eCJ口,C22,知,T压(417)二smy,式中PPP二,x]一〔P一[p~[pC,二二,(())p二二,(())…………p二`(N)]r(N)〕rr(N)」ee二,eP`I二了Pep二,,`,二,,二,(i)二,几了(2),……T,,(413)(417)式也可以写成,P。~二,二二,,m了二下zS。二,(杏。二,)二,P。二,二了,=CCe二,二,JS,S(若T,))(4P,=几二,C:,乍二,my,S。二,(若T二,19)(419)式也可以用分量来写几PP二,二,二,(i)一C二,下,二,二、X,(乞)S(普,。,T,二,)`,e(主)一C二二,CC,。二下二,J,8,下二,二,(泛)S(若;。T,)二,,二,(i)=C二二,二,,`Y,(乞)S二](普T)4(420),(416)式是由于地面运动所产生的最大位移可以解释为由于(,7)式一组作用在楼层14上弹性地震作用下所产生的静力位移由于地震的地面运动例如(420。,对多层建筑结构所产生的地震作用、、可按(0)式计算2。。根据利用地震作用计算建筑结构的剪力,扭矩及倾覆力矩可按一般的静力方法进行y计算地震作用所引起建筑结构在x,方向的基底对应Kj振型的最大剪力T`,,)式可以得到二,?~{z}尸二二,QQ,z二,一C二下二,S。二,(普,)习。云~l`X,(艺)`二,~{1}尸,,二,二,一C二,C二,下二,S。(音`,,NT二,)艺二Y,(乞)(421)二,关于质量中心基底相对于Kj振型最大扭转力矩T可以写作T二,一下P,甲。二,~C二`,c。二,下二,S。`,(舀,T二,)`一万l,下`J`夕(乞)(422)式中下~〔下下:“一下们T关于剪力中心扭矩的最大值为T,二,~T二,+e,IQ二二z一e,:Q,`-(423)建筑结构物基底的倾复力矩为M二`,一艺:凡二,(乞)`’`二.M,二,~万:`1,`P,二,(乞)(424)式中此时,2.为第乞楼层距基底的高度。在计算实际多层建筑结构地震作用时,往往需要考虑结沟的类型和结构的弹塑性影响可以改写为。,弹性地震作用计算的公式(40)2,`,凡pp,二,(i)一CC二,二下x,`饥X二,`,(乞)S(普。,T`,K,)`,e`,(乞)一Cq二,Ce二,,J夕z(乞)S(普,。T)二,,(乞)~C几五,C二,下二,`二,,饥Y,(感)S(舀T`,)(425)其中,C称为结构影响系数。如果把规范地震作用公式写成下面的形式Pl(i)一C,,a,,,,饥.X一(乞)凡(占T,)(426),从(45)和2,(46)式可以看到2l当考虑扭转祸联与不考虑扭转料联的地震作用1,I仅考虑第一振型时。《因C二,因此有(427)。即是说明考虑扭转祸联时(一))几(云)《P(乞仅考虑第一振型时扭转祸联减少地震作用,,简捷计算多层建筑结构扭转辆联地震作用的方法其计算步骤大体是,:先分析多层建筑结构的质量中心与剪力中心相一致时的情况个N阶非祸联的方程t《Nn1。。此时体系的运动微,分方程为取13(二)求解三个N阶非祸联振动方程的前饥个特征值和相应的特征向量一般来说,,饥到3,(三)利用(40)式1,,求解三阶矩阵方程的特征值和相应的特征向量。。K一1,C川。对于任一固定的夕((四)《j《N)42,3。按照(02)式计算弹性地震作用。,然后按照通常的静力方法计算多层建筑结构。的剪力、扭矩和倾复力矩等,(五)利用地震作用计算结构内力、然后再按有关的规定计算内力组合五上有什么变化二,、算例。为了说明多层建筑结构地震时考虑扭转祸联振动与忽略扭转祸联振动在各个振型地震力我们对文献[。4〕给出的八层筒体结构做了地震作用计算“在计算时,仅假定方向有地面运动首先忽略扭转祸联影响地震荷载计算公式响,,,用工业与民用建筑抗震设计规范”,(TJn一78)提供的水平3。算出,x方向八个振型的地震作用、见图2。如果考虑扭转祸联振动的影,用本文(从图340)式分别计算出相应工2,甘、0方向的地震作用,见图可以看出当建筑结构考虑扭转祸联时。低振型与高振型祸联程度有些不同,似乎随着振型的增高祸联的程度也有些增强表1到|月工汀几`几曰`on诬的,右`3200000O00、056402850127006400640000056*000。0017000700013780814…00l31670229006000090000。0097000500010000一一~07736`0072*。。006530023*000魂.。0003041901890191018700620083~00002000。000000000200。。0026。0013.0029.0006*0008.00002000。。0。0010001500040005一0000000003100054。00500019000200010001000。一0一0001。00。0000000000000130。00220019从图、图可以看出3在地震作用时。,,建筑物的质量或刚度沿高度突然变化处,嗽高,振型的影响不宜忽略为了比较考虑扭转祸联与忽略扭转祸联两种情况的基底剪力和基底弯矩(倾复力矩)我们也进行了计算,其结果见表1。87汐8\\闷乡e—XZ了4了`r}认侧曹矛匆口匆和O`砂斗口口材初了、45个多匆夕匆衬图2初如忽略祸联影响一1山,口匆初口匆x方向八个振型地震作用妥五卜口/、、岁上笋口在多层建筑结构的地震作用分析中算机存贮的限制,,当楼层层数较多时考虑扭转祸联由于小型或微型计。一般来说是比较麻烦和困难的,,利用摄动理论扭转祸联振动的振型可以表示为非祸联振动的振型的线性组合由此可以大大简化扭转祸联地震作用的计算,。,所得的振型具有很高的准确性和精度利用本文提供的简化方法,可以很方便地在小型或微型计算机上分析多层建筑结构考虑缩短计算时间。扭转祸联的地震作用训此,,可以节省计算机的存贮,本文所建议的公式其基本形式与目前建筑抗震设计规范计算地震作用形式大体相同。,可以作为修订建筑抗震设计规范考虑扭转祸联地震作用公式时的一个参考已I川d日川月门“,幸`Z门万了讨了目长Z了吞f,电引卜、I.r如犷护”J朋的ōn月.”,JJ峨2了今月”咔,目nJ一日沙fZ砚口2口,只留双刃夕Q刀叼刃O·欢公召刀口787东876e一ùz0a-少中彩为矛气!`中服即乎犷峥_叹傲口咬刀图a坎23口一盯只刀x,Oe哑oz口2砚一」二0考虑祸联影响甘,方向的地震作用参[1〕ClYou考Dyna文mieidebEs献ogh,RWandPenzienJ:fStruetures,Mnae份ieaw一Hill,Newoork1975[2〕Rustyenb即9Ae,TsoWKraandtuHrese,reehtACE:DynemPdroPretieuesflAmmmntsr,ieWaVoll一F5,meStruerathquakenigr认9eens,anStrturaDynaiel1977[3〕WilsooELDovesysHHandH,abiboullan,A*TtierhaeeDimanuasion,alA1950analysisfBanuildingSytemoTABS80VsllTheorelMlylJuneors[4〕KCLandChyPBraAKs,:ElaEtieEarakethquakeeAnaisdofTStiontullylCou-Pm-ledies,MuVaroltistloreuildingrathquEnginreinganrueraDyna5,1977[5〕EdwbytudeeLtWSailson,Mo,ingwouYuanzanee,dJors,ohnEMarDiekeanstDynamingieanAdnalysisDirraupre,,Position,l10fRitPPVtthqukeEngineerStruc-lDyn,miesV813一821一1952[6〕何广乾林春哲张凯,高层筒体剪力墙结构扭转藕联振动分析年5,第八届全国高层建筑结构学术交流会论文集1984月。CtotoPatatmonupioldcofuToaonayiCaollPhuqdulceeeliMuyHGdananuBilnidgaun,utlae一ticakateoniqLiginChounzhZhngKreie(ChinAeademyAbfBsuidingtresReseah)traeInthisPysaPer,thseelastierevearthquakeeePonsesfoerss,mtieuea一ltidegreea一of-frseeoedoemfotuarsrteum15nimPlyfsiewedThf一frsn,bydothselarthqukdveeere-Pnsmbtalatioaomiseouulti一dsogree一oeemystemuseer15omesoaofthPertionnalylutionestohowaothatanaoyrolowxmtedaonfibra-tionearoeoforsaionaonllyoPldvbuildingibrammthybes,ePPimadPrthlintor-mfoebintifthsesthreetionodfetheseeorresdinga-sSionallyuneouPrsled0ytemidoBasedneeesethlastieeareaethqukeere-Ponsemrulatione1toPrsnallyeoureseplntdbduuildingneansubedilylyddueedteThresuimPlifithedrroeeureesPeayieldreffieisntaeeuraltsfoPuP0seo士digningmltisto2yb”uilding(上接71页)“一形网架(尤其是凸起部分)的,该要求米37“几”形网架平面为正六边形,对角3杆件受力情况及杆件内力变化规律程度上趋近于网壳结构3在一定线直径为67,,0米5。根据平面尺寸及凸起的。。选用了三向网架3。网格尺寸为57大,“几”形网架结构刚度比平板网架要。高75米50米,米,上凸高度375米,周边悬挑,用钢量相对节省网架由钢筋混凝土柱支承柱距)、计算结果表明:各支座位移均为沿着以,柱顶标高10,50米(见图3。六边形形心为中心的方向向外位移,。且在在网架设计中与计算分析,考虑了垂直荷载。、风荷六边形的六个角柱支座上出现了拉力石万县支座的构造特点和受力性能。考虑载及温度等作用的不利组合经过方案比较改善构件、设计中摇摆支为了便于屋面排水。将整个网架安装在18个摇摆支座上座承受压力移。,的受力性能及增加屋盖结构的刚度用变坡度网架决定采,,且可沿相对六边形形心方向位。为了减少杆件类型。采用取消了六个角柱上的拉力支座网架节点采用焊接空心球与A。上“、下弦平行的形式”3F焊接讽通过对相同设计条件下的平板网架和管的焊接节点衬管组装,钢管均作30剖口。、。,并附加分段分块几形网架计算比较,结果表明、:以保证焊接质量1平板网架中,中部上,。下弦杆的内力,网架杆件将采取机床下料较大中,,周边内力逐渐减小且上弦杆件一般“在现场总装的施工方法整体起吊,。拟设置四台。受压,下弦杆件一般受拉且”,形网架且绝大,80吨钢扒杆,高空移位法安装,上凸部分的杆件内力相对较小;,钊对网架性体起吊和就位的不I司阶段分别进行了内力计算分析面相应作r调整。,部分的下弦杆亦变为受压的网格带中多为受拉。在凸起部分下面并对部分杆件成Z。上、下弦杆件的内力较大且网架用钢虽为33kg/m