横向分布载荷作用下双模量简支梁的级数解渊湖南文理学院袁湖南常德415000冤
摘
要：用奇异函数并利用弹性理论研究了双模量简支梁的平面应力问题袁结合双模量简支梁的边界条件及中性层连续
韩朝晖
条件确定了拉伸区和压缩区的应力函数袁推导出了双模量简支梁应力公式的级数解遥把应力公式的级数解计算结果与有限元法的计算结果进行比较袁验证了应力公式级数解是可靠的遥算例分析表明院随着双模量简支梁长高比的增大袁双模量简支梁的拉压区的弯曲应力也随着增大遥在分布载荷作用下双模量简支梁的弯曲应力要大于在均布载荷作用下双模量简支梁的弯曲应力遥采用材料力学方法研究双模量简支梁的弯曲应力袁得到的双模量简支梁拉伸区的弯曲应力与本文采用奇异函数得到的双模量简支梁拉伸区的弯曲应力级数解很接近遥但是袁采用材料力学方法研究双模量简支梁的弯曲应力袁得到的双模量简支梁压缩区的弯曲应力级数解与本文采用奇异函数得到的双模量简支梁压缩区弯曲应力级数解相差却非常大遥
关键词：分布载荷曰双模量曰简支梁曰级数解曰奇异函数曰弹性理论中图分类号：O343.5
文献标识码：A
文章编号：1672-545X（2019）04-0063-05
0引言
随着新材料的不断涌现袁有许多材料受拉和受压时变形模量相差较大袁在不同应力状态下需要考虑其不同的本构关系袁成为了当前研究热点袁吸引了广大学者注意力遥MedriG建立了考虑受拉受压不同变形模量各向同性材料的非线性模型[1]尧BertCW等[2]尧板的振动曰李战莉等[4]尧曾纪杰[5]尧蔡来生等[6]建立了受拉受压不同变形模量材料的本构关系曰吴晓等[7]考虑材料的双模量特性袁分析了双模量圆板的弯曲变形曰罗战友等[8]建立了不同拉压模量及软化特性材料的柱形孔扩张问题的统一解曰AmbartsumyanSA[9]尧高潮等[10]和吴晓等[11-12]对不同拉压模量板尧梁[13-14]的弹性理论解开展了研究曰吴晓等[15]和韩朝晖等[16-18]考虑剪切效应建立了不同拉压模量材料的弹性理论遥本文考虑双模量材料特性袁利用奇异函数对分布载荷作用下不同拉压模量梁的平面应力问题进行了研究袁并推导出了双模量简支梁应力公式的级数解遥SrinivasanRS研究了受拉受压不同变形模量材料
[3]1应力函数
如图1所示双模量简支梁遥
qb
qa
O
a
y
h2
h1
H
x
b
l
图1双模量简支梁
其拉伸区和压缩区的应力函数应满足协调方程院
鄣4椎i+2鄣4椎i+鄣4椎i=0鄣x4鄣x2鄣y2鄣y4椎渊渊ix袁y冤=Xix冤Y渊iy冤
将式渊2冤代入式渊1冤可得
渊1冤
式中院i=1时代表拉伸区袁i=2时代表压缩区遥以下类同遥令式渊1冤的解为
渊2冤
d4XiY+2d2Xid2Yi+Xd4Yi=0渊3冤iidx4dx2dy2dy4收稿日期：2019-01-14
基金项目：湖南省教育厅教改项目叶普通高校成人教育考试与考核多样化研究曳渊湘教通也2016页400号冤袁湖南省教育厅教改项目
叶职业导向的普通高校成人教育课程设置与课程教学内容改革研究曳
作者简介：韩朝晖渊1962-冤袁男袁教授袁研究方向院机械振动袁有限元分析遥
63
EquipmentManufacturingTechnologyNo.04袁2019由式渊3冤可得
2i2dXXi=-dx2蓸由式渊4冤可以求得院
4d4YiY忆
idy4蔀蓸d2YiY忆
=-2姿2渊4冤i2dy2蔀2应力公式
对于图1所示工程中常见的线性分布载荷可用奇异函数表示为如下形式院
q渊x冤=qa-qb蓸掖x-a业1-掖x-b冤业1蔀+
a-b0q掖业0-q掖ax-abx-b业
Xi渊x冤=K1cos姿x+K2sin姿x
将式渊6冤代入式渊3冤可得
4dXi=-姿4X袁dXi=-姿2X
iidx4dx2dYi-2姿2dYi+姿4Y=0
idy4dy22渊6冤
渊5冤
渊7冤
渊13冤
其中袁奇异函数运算规则为
掖x-xi业=
nY渊iy冤=Aish姿y+Bich姿y+Cish姿y+Diych姿y渊8冤椎i=渊K1cos姿x+K2sin姿x冤渊Aish姿y+Bich姿y+
Ciysh姿y+Diych姿y冤
x=l时袁有
所以袁双模量简支梁的应力函数为
渊9冤
由式渊7冤可以求得
对于图1所示双模量简支梁袁在梁两端x=0和
2鄣i滓xi=椎=02鄣y乙掖x-xi业ndx=fx冤掖x-x业乙渊
in+1扇设x-x业+C袁n约0掖i设
设
设缮设设设设墒
嗓渊x-xi冤n袁x>xi0袁
x臆xi渊14a冤
1掖x-x业n+1+C袁n逸0
in+1渊14b冤
有K1=0袁姿=m仔l椎渊ix袁y冤=
肄渊10冤
渊m袁1袁2袁噎冤
渊11冤
0dx=[F渊x冤-F渊xi冤掖]x-xi业0袁
F渊x冤=
故图1所示双模量简支梁应力函数通解为
利用傅里叶级数可把式渊13冤展开为如下形式院
乙渊fx冤dx渊14c冤
Cmiyshm仔y+Dmiychm仔y冤
ll扇设
设设设设设设设设设设设设设缮设设设设设设设设设设设设设设墒
移sinml仔x渊A
m=1mishm仔y+Bmichm仔y+
ll渊12冤
q渊x冤=
qm=2lxdx
乙q渊x冤sinm仔l渊la-b冤cosm仔+lsinm仔b-sinm仔a蔀蓡+=2嗓q-q蓘蓸llm仔m仔la-b渊q-q冤lcosm仔+lqcosm仔a-qcosm仔b蔀瑟蓸llm仔m仔l0ab222abab移q
m=1肄msinm仔xl渊15冤
由式渊12冤可知双模量简支梁拉伸区和压缩区的应力分别为院
肄2m2仔2sinm仔xAm1+2lDm11滓x1=鄣椎=移m仔l鄣y2l2m=12lcm仔y+shm仔y+Bm1+m1chm仔llCm1yshm仔y+Dm1ychm仔y渊16a冤
ll蓸仔sinm仔x1滓y1=鄣椎=-移m22鄣xllm=1222肄蓘蓸蔀蓡蔀shm仔y+Bm1chm仔y+
llCm1yshm仔y+Dm1ychm仔yllm1肄蓘A
蓘蓸222鄣椎m仔cosm仔x1子xy1=-=-移2鄣x鄣yllm=1Bm1+lCm1shm仔y+Am1+lDm1m仔m仔lchm仔y+Dm1yshm仔y+Cm1ychm仔ylll蓡渊16b冤
蔀蓸蓡蔀渊16c冤
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叶装备制造技术曳2019年第04期
仔sinm仔x2滓x2=鄣椎=移m22鄣yllm=1Am2+2lDm2shm仔y+Bm2+2lCm2m仔m仔lchm仔y+Cm2yshm仔y+Dm2ychm仔ylll222肄22仔cosm仔x子xy2=鄣椎2=-移m2鄣x鄣yllm=1Bm2+lCm2shm仔y+Am2+lDm2m仔m仔l2肄蓘蓸蔀蓸蓡蔀蓘蓸蔀蓸渊16d冤
chm仔y+Dm2yshm仔y+Cm2ychm仔ylll仔sinm仔x2滓y2=鄣椎=-移m22鄣xllm=1222肄Cm2yshm仔y+Dm2ychm仔yll蓘双模量简支梁的边界条件及中性层连续条件分别为
y=h1袁滓y1=0袁子xy1=0
肄蓡蔀渊16f冤
Am2shm仔y+Bm2chm仔y+ll蓡渊16e冤
y=-h2袁滓y2=-q渊x冤=-移qmsinm仔x袁子xy2=0渊17b冤
lm=1y=0袁滓x1=滓x2=0袁滓y1=滓y2袁子xy1=子xy2渊17c冤
渊17a冤
扇设
设设设设设设设设设设设设设设设缮设设设设设设设设设设设设设设设设墒
Am1shm仔h1+Bm1chm仔h1+Cm1h1shm仔h1+Dm1h1chm仔h1=0
lllllchm仔h1+hshm仔h1Am1chm仔h1+Cm1h1chm仔h1+Dm1=01m仔llll2m仔h2-2lchm仔h2mlCm1h2sh-Am2shm仔h2-Dm2h2chm仔h2=q2lm仔lllm仔2lchm仔h2+hshm仔h2Am2chm仔h2-Cm1h2chm仔h2+Dm2=02m仔llllBm1=Bm2袁Cm1=Cm2袁Bm1=-2lCm1m仔Am2=Am1+l(Dm1-Dm2)
m仔蓸蔀蓸蓸蔀蔀渊18冤
将渊16冤代入式渊17冤可得利用式渊18冤可以求得
扇设
设设设设设设设设设设设缮设设设设设设设设设设设设墒
蓸蓸lsh2m仔h1-h
M1=12m仔l22llh2m仔hl211h1+22+sh+22ch2m仔h1m仔2m仔lm仔l1+ch2m仔h1M2=llm仔22llh2m仔hl211h1+22+sh+22ch2m仔h1m仔2m仔lm仔lM3=M4=M3h蓸ml仔shm仔l式中院
mlM3Dm2=q2袁
m仔2M4qml21-l渊M2+M3冤Am2=22m仔m仔M42mlM1Cm1=Cm2=q2袁Dm1=-q2ml2M2袁2m仔M4m仔M422Am1=
qml2,B=B=-2qml2M1袁
m1m2m2仔2M4m3仔3M4渊19冤
m仔h2+Mh2shm仔h2-2lchm仔h21lm仔llshm仔h2l横向分布载荷作用下的应力表达式遥
蓸蔀-
将式渊19冤代入式渊16冤即可得到双模量简支梁在
3中性轴位置的确定
双模量梁在外荷载作用下弯曲时的应力和应变关系为
滓x1=E1y袁滓x2=E2y籽籽性模量遥
渊20a冤
蓘蓡蔀蔀蓸蓸蓸M1+M2l-1cthm仔h2曰
m仔h2h2l2-h2ch2m仔h2+M2lsh
lm仔蔀蔀蔀式中院E1为拉伸区的弹性模量曰E2为压缩区的弹如图2所示任意荷载作用下的简支梁袁对B点
的力矩平衡方程为
RAl-所以袁
蔀移m
i=1ni-
移Pb
j=1nii-
乙dcq(x)xdx=0渊20b冤
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EquipmentManufacturingTechnologyNo.04袁2019RnA=移mii=1l+
移nPibij=1lR乙dq(xl)xcdx渊20c冤
B=
移P+
乙+dicq(x)dx-RA渊20d冤
mPi
q渊x冤
i
ABdX
RA
aRi
B
bi
c
d
l
图2任意荷载作用下简支梁
这样袁由简支梁的支座反力袁就可以得到各个截面的弯矩表达式遥
弯曲时双模量梁的力矢和力矩平衡方程分别为院
乙h100将式渊乙滓x1hdA+
-h210滓x1ydA+
乙20冤代入渊21冤乙滓x20dA=0
渊21a冤-h2滓x2ydA=M渊x冤
渊21b冤
中袁可得h1=
姨E姨E+2H袁1渊22冤1式中院h1为拉伸区姨高E2籽=M渊Ex冤1I度曰h2为压缩区高度曰H=
h1+h2曰I=bh由式渊22冤313+E2可知袁双3bh模E123遥
量梁中性轴的位置与作用
在梁的横向载荷无关遥
4算例分析与讨论
124.36设某双力及最大GPa压遥模应采量力用简支梁的b=1袁E1=93.2GPa袁E2=
袁如本表文方法1~表计算4所示中点遥
处的最大拉应为验证本文方法袁采用ANSYS有限元程序对双模量简支梁中点处的最大拉应力及最大压应力也进行了计算袁结果一并列入表1~表4遥
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表1qa=qb，a=0，b=l时双模量简支梁中点处弯曲应力
参数
方法l=hl=2hl=3hl=4hl=5hl=6h本文方法
0.823.237.2312.8720.0928.91滓x1
EANSYS
28.78
E1=E2=93.2GPa0.750.79
3.003.19
1=E2本=124.36文方法GPa
0.750.723.006.757.18
12.802.856.756.3612.0012.00
19.9811.2718.7518.75
27.0017.6927.0025.42滓x2
EANSYS0.692.816.3111.2117.5825.29E=1=EE2=93.2GPa
0.7512=124.36GPa0.753.003.006.756.75121218.7518.7527.0027.00表2qb=2qa，a=0，b=l时双模量简支梁中点处弯曲应力
参数
方法l=hl=2hl=3hl=4hl=5hl=6h本文方法1.094.299.6717.1526.7838.54滓x1
EANSYS
1.051.004.241=E2=93.2GPa
4.009.609.0017.0316.0026.6125.0038.23E36.001=E2本=124.36文方法GPa
0.951.003.77
4.008.499.00
15.10
16.0023.5325.0036.0033.93滓x2
EANSYS
0.92
3.72
8.409.0014.9623.38
33.62E1=E2=93.2GPa1.0016.0025.0036.001=E2=124.36GPa1.004.004.009.0016.0025.00
36.00表3qa=qb，a=4l，b=l时双模量简支梁中点处弯曲应力
参数
方法l=hl=2hl=3hl=4hl=5hl=6h本文方法
0.722.836.3511.2717.5825.29滓x1
EANSYS
0.6917.491=E2=93.2GPa0.652.796.2811.2116.4125.18E23.631=E2本=124.36文方法GPa
0.630.65
2.632.492.63
5.915.595.91
10.5010.509.8915.4916.41
22.2523.63
滓x2
EANSYS0.600.652.450.652.635.522.635.9110.509.80
15.38E5.9110.5016.4122.131=1E=E2=93.2GPa2=124.36GPa16.4123.6323.63表4qb=2qa，a=4l，b=l时双模量简支梁中点处弯曲应力
参数
方法l=hl=2hl=3hl=4hl=5hl=6h本文方法
0.953.778.4815.0223.4533.71滓x1
EANSYS
1=E2=93.2GPa0.880.92
3.503.71
7.888.39
14.0014.91
21.8823.29
31.5033.45
E1=E2本=124.36文方法GPa0.820.88
3.303.50
7.437.88
13.2014.00
20.5821.88
29.6831.50
滓x2
EANSYSE1=E2=93.2GPa
0.880.80
3.503.26
7.887.35
14.0013.09
21.8820.46
31.5029.42
1=E2=124.36GPa0.88注院表1~表4中E1=E2=93.2GPa尧E3.507.8814.0021.8831.501=E2=124.36GPa是材料力学方法遥
本文把双模量梁应力公式的级数解尧有限元法尧材料力学方法计算的结果均列在表1~表4中袁以便分析对比三种方法计算结果的计算精度遥
由表1~表4可知袁采用奇异函数研究分布载荷作用在双模量简支梁上任意梁段上的弯曲变形都是很方便的遥本文方法与有限元法的计算结果相差不大袁验证了本文方法的正确性遥
相同弹性模量弹性理论与本文双模量简支梁中点处弯曲应力的级数解误差均在5%以上遥对于双模
量梁而言袁采用单模量弹性理论研究双模量梁的弯曲应力袁拉压区的弯曲应力绝对值是相等的袁因为单模量弹性理论确定的梁的中性轴位置是在梁横截面高度的中点处遥而事实上袁双模量梁的拉压区的弯曲应力绝对值是不相等的袁是随双模量简支梁拉压区的弹性模量变化而变化的袁即双模量弹性理论确定的梁的中性轴位置不在梁横截面高度的中点处袁从而导致双模量梁的拉压区的弯曲应力绝对值不相等遥在本文中袁双模量简支梁的拉压区的弯曲应力相差均达10%以上遥所以袁双模量简支梁的平面应力问题袁不宜采用相同弹性模量弹性理论袁而应该采用双模量弹性理论遥
由于长高比的增大使得弯矩变大袁因而袁在外载荷作用下袁双模量简支梁的弯曲应力随着长高比的增大而增大遥
由于分布载荷作用下的弯矩大于均布载荷袁相应的袁双模量简支梁中点处的弯曲应力大于均布载荷遥
由表3尧表4可以看出袁对于拉伸区的弯曲应力袁材料力学方法与本文方法计算结果相差不大袁压缩区的弯曲应力则误差较大袁大于50%袁说明了材料力学方法计算双模量简支梁的弯曲应力的局限性遥
5结论
渊1冤采用奇异函数研究分布载荷作用在双模量简支梁上任意梁段上的弯曲变形都是很方便的遥本文证明了双模量梁中性轴的位置与作用在梁的横向载荷无关遥
渊2冤采用奇异函数研究双模量简支梁弯曲应力袁具有较高的计算精度遥
渊3冤对于拉压弹性模量相差较大的简支梁袁其平面应力计算要采用双模量弹性理论遥
渊4冤在外载荷作用下袁双模量简支梁的弯曲应力随着长高比的增大而增大曰均布载荷作用下的弯曲应力小于分布载荷作用遥
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渊下转第71页冤
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叶装备制造技术曳2019年第04期
SimulationAnalysisinDedustingDepositionChamber
oftheEngineeringSweeperBasedonFLUENT
渊ShaanxiDefenceVocational&TechnicalCollege袁Xi爷an710300袁China冤
Abstract：Thispaperstudiestheinfluenceofthedepositionchamberonairflowintheprocessofdedusting袁
CHENHuan
throughanalyzingthecurrentsituationofthepickingandcollectingoftheasphaltpavementduringtheroad
maintenanceconstruction.Firstlyestablishingthemodelofthedepositionchamberandcompletingthecalculationimprovethestructure袁changingtheairflowspeed袁improvingthededustingeffect袁andverifyingtheobtainedsimulationresults.
Keywords：engineeringsweeper曰depositionchamber曰simulationanalysis曰structuraloptimization
oftheoverallparameters.Secondly袁simplifingthemodeltocompletethesimulationanalysisoftheflowfield袁andobtainingtheshortcomingoftheairflowvelocityattheexitoftheairduct.Finally袁addingthecurvedboardto
渊上接第67页冤
SeriesSolutionofBimodulousSimplySupportedBeamWithTransverseDistributedLoads
渊CollegeofArchitecture&CivilEngineering袁HunanUniversityofArtsandScience袁
ChangdeHunan415000袁China冤
HANZhao-hui
Abstract：Usingthesingularfunctionandelastictheory袁theplanestressproblemofbimoduloussimplysupportedandcompressionzonewereidentified袁andtheseriessolutionforstressformulaofbimoduloussimplysupported
beamwasstudied.Usingboundaryconditionsandcontinuityconditionsofneutrallayer袁stressfunctionsoftensilebeamwasderived.Comparingcalculationresultsofseriessolutionandfiniteelementmethod袁thereliabilityofseriessolutionforstressformulawasverified.Numericalexamplesshowthatwiththeincreaseoflengthandheightratioofbimoduloussimplysupportedbeam袁bendingstressesoftensileandcompressionzoneincreaseaccordingly袁bimoduloussimplysupportedbeamintensilezoneobtainedbytheseriessolutionusingmaterialmechanicsisverymethodislargedifferentfromthatobtainedbytheseriessolutionusingsingularfunctioninthispaper.theory
andbendingstressesunderdistributedloadsaregreaterthanthemunderuniformloads.Thebendingstressofclosetothatobtainedbytheseriessolutionusingsingularfunctioninthispaper.However袁thebendingstressofbimoduloussimplysupportedbeamincompressionzoneobtainedbytheseriessolutionusingmaterialmechanicsKeywords：distributedloads曰bimodulous曰simplysupportedbeam曰seriessolution曰singularfunction曰elastic
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