集合,常用逻辑用语不等式

质量检测(一)

测试内容：集合、常用逻辑用语 不等式

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．(2012年福州市高三第一学期期末质量检查)已知集合A＝{x|x>3}，B＝{x|2A．{x|x>3} C．{x|3B．{x|2( )

解析：A∩B＝{x|x>3}∩{x|22．(2012年合肥第一次质检)集合A＝{－1,0,4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，

x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是 ( )

A．{4} C．{4,5}

B．{4，－1} D．{－1,0}

解析：本题主要考查集合的运算与韦恩图．由图可知阴影部分表示的集合为(∁UB)∩A，因为B＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0,1,2,3}，因此(∁UB)∩A＝{4，－1}，选B.本题为容易题．

* *

答案：B

3．(2012年河北省衡水中学期末检测)若集合A＝{0，m2}，B＝{1,2}，则“m＝1”是“A∪B＝{0,1,2}”的

A．充要条件 C．必要不充分条件

B．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件

( )

解析：当m＝1时，m2＝1，A＝{0,1}，A∪B＝{0,1,2}，若A∪B＝{0,1,2}，则m2＝1或m2＝2，m＝±1或m＝±2，故选B.

答案：B

4．若a

B.

－b

1> 1

( )

aba－bbC.－a>D．|a|>－b

11b－a解析：∵－＝>0，

abab∴A一定成立；∵a－b>0， ∴

－a>－b，即C一定成立；

|a|＝－a；

∴|a|>－b⇔－a>－b，成立，∴D成立； 当a＝－2，b＝－1时，选B.

答案：B

5．设A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}．已知A＝

1＝

＝－1＝，所以B不一定成立，故

－2＋1b1

1

a－b* *

{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A×B等于 ( )

A．[0,1]∪(2，＋∞) C．[0,1]

B．[0,1]∪[2，＋∞) D．[0,2]

解析：∵A＝[0,2]，B＝(1，＋∞)，∴A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}＝[0,1]∪(2，＋∞)．故选A.

答案：A

111

6．(2012年厦门模拟)设命题p：若a>b，则<，q：若<0，则ab<0.

abab给出以下3个复合命题，①p∧q；②p∨q；③綈p∧綈q.其中真命题的个数为( )

A．0 C．2

B．1 D．3

解析：p为假命题，q为真命题，所以只有②正确，故选B. 答案：B

7．在算式“＋＝”的两个□、△中，分别填入两个正整数，使它们的

△□□×△倒数之和最小．则这两个正整数构成的数对(□，△)应为

A．(4,14) C．(3,18)

B．(6,6) D．(5,10)

( )

4

1

30

解析：题中的算式可以变形为“4×□＋1×△＝30”．设x＝□，y＝△，则4x1111y4x



＋y＝30.30＋＝(4x＋y)＋＝5＋＋≥5＋2

xyxyxy

y4xxy·＝9，当且仅当

y4xx＝y，即x＝5，y＝10时取等号，所求的数对为(5,10)．故选D.

答案：D

* *

8．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是 A.C.1> 1

11

B.＋≤1

( )

ab2abab≥2 D．a2＋b2≥8

解析：a＋b＝4≥21

ab，ab≤2，ab≤4

1

∴≥，故C错，A错． ab41＋＝1

a＋babab＝4

ab≥1，故B错．

(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2) ∴a2＋b2≥8，故选D. 答案：D

9．(2012年广东番禺模拟)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃

x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )

A．[e,4] C．[4，＋∞)

B．[1,4] D．(－∞，1]

解析：若p真，则a≥e；若q真，则16－4a≥0⇒a≤4，所以若命题“p∧

q”是真命题，则实数a的取值范围是[e,4]．故选A.

答案：A

x－y≤10，

10．(2012年辽宁)设变量x，y满足0≤x＋y≤20，

0≤y≤15，

则2x＋3y的最大

* *

值为

( )

A．20 C．45

解析：可行域如图所示：

B．35 D．55

y＝15，由x＋y＝20

得A(5,15)，A点为最优解，

∴zmax＝2×5＋3×15＝55，故选D. 答案：D

11．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，则a的取值范围是

A．(－2,2) C．(－2,2]

B．[－2,2] D．[－2,2)

( )

解析：当a＝2时，不等式－4<0恒成立；当a≠2时，

* *

a－2<0由Δ＝4a－2

2＋4×4a－2<0

，解得－2∴符合要求的a的取值范围是(－2,2]，故选C. 答案：C 12．设A＝{x|

x－1

<0}，B＝{x||x－b|x＋1

B．－2≤b<2 D．b≤2

( )

分条件，则实数b的取值范围是

A．－2≤b≤2 C．－2解析：A＝{x|－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．命题p：∀x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定綈p是______． 答案：∃x∈R，f(x)x≥0，

14．(2012年安徽)若x，y满足约束条件x＋2y≥3，

2x＋y≤3，围是________．

则x－y的取值范

* *

解析：

①作出可行域，如图中阴影部分；

②作出零线x－y＝0并平移，判断A，B点坐标； x＋2y＝3，③由

2x＋y＝3

2x＋y＝3，

解得A(1,1)，由

x＝0

解得B(0,3)，∴(x－y)max

＝1－1＝0，(x－y)min＝0－3＝－3，∴x－y∈[－3,0]．

答案：[－3,0]

15．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则非p是非q的________条件．

解析：∵p：x<－3或x>1，∴綈p：－3≤x≤1. ∵q：216．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－ln x－a≥0”与命题q：“∃x0∈R，2

1

x20＋2ax0－8－6a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是______________．

112

解析：若p真，则∀x∈[1,2]，x－ln xmin≥a，∴a≤；若q真，则(2a)2

22－4×(－8－6a)＝4(a＋2)(a＋4)≥0，∴a≤－4或a≥－2，∴实数a的取值范围为

* *

1(－∞，－4]∪－2，.

2

1答案：(－∞，－4]∪－2，

2

三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

17．设全集U＝R，函数y＝log2(6－x－x2)的定义域为A，函数y＝

1

的定义域为B.

x2－x－12

(1)求集合A与B； (2)求A∩B，(∁UA)∪B.

解：(1)函数y＝log2(6－x－x2)要有意义需满足6－x－x2>0，解得－31

要有意义需满足x2－x－12>0，解得x<－3或

x2－x－12

x>4，

∴B＝{x|x<－3或x>4}．

(2)A∩B＝Ø，∁UA＝{x|x≤－3或x≥2}， ∴(∁UA)∪B＝{x|x≤－3或x≥2}．

18．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A－B.

据此回答下列问题：

(1)若A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，求A－B；

* *

(2)在下列各图中用阴影表示集合A－B；

(3)若集合A＝{x|02数a的取值范围．

解：(1)根据题意知A－B＝{1,2}． (2)

1

(3)A＝{x|0＜ax－1≤5}，则1＜ax≤6，

当a＝0时，A＝Ø，此时A－B＝Ø，符合题意； 166当a>0时，A＝，，若A－B＝Ø，则≤2，即a≥3；

aaa6161当a<0时，A＝，，若A－B＝Ø，则>－，即a<－12.

a2aa综上所述：实数a的取值范围是a<－12或a≥3或a＝0. 19．(1)求函数y＝

2x在x>0时的最大值；

x2＋1

(2)已知x＋y＋xy＝2，且x>0，y>0，求x＋y的最小值． 解：(1)因为x>0，所以y＝

2x＝21x＋，

x2＋1

x* *

而x＋≥2，故0<

1

x≤，则0<≤1， 121x＋x＋

112

xx当且仅当x＝即x＝1时，y的最大值为1.

1

xx＋y

2

(2)由xy＝2－(x＋y)及xy≤得 22－(x＋y)≤

x＋y4

2

，

即(x＋y)2＋4(x＋y)－8≥0. 解得x＋y≥23－2或x＋y≤－2－2

3.

因为x>0，y>0，所以x＋y≥23－2，

当且仅当x＝y且x＋y＋xy＝2， 即x＝y＝3－1时，x＋y的最小值为2

3－2.

1－x20．(2013届湖北省黄冈中学高三11月月考)已知p：f(x)＝，且|f(a)|<2；

3

q：集合A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，且A≠Ø.

若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围． 1－a解：若|f(a)|＝||<2成立，则－6<1－a<6，

3即当－5若A≠Ø，则方程x2＋(a＋2)x＋1＝0有实数根， 由Δ＝(a＋2)2－4≥0，解得a≤－4，或a≥0， 即当a≤－4，若a≥0时q是真命题；

* *

由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p与q一真一假， －5p真q假时，

－4，∴－4a≤－5或a≥7

p假q真时，

a≤－4或a≥0

，∴a≤－5或a≥7.故知所求a的取值范围是

(－∞，－5]∪(－4,0)∪[7，＋∞)．

21．某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品所消耗的电能和煤、所需工人人数以及所得产值如下表所示：

品种 甲 乙 电能(千度) 2 8 煤(吨) 3 5 工人人数(人) 5 2 产值(万元) 7 10 已知该工厂的工人人数最多是200人，根据限额，该工厂每天消耗电能不得超过160千度，消耗煤不得超过150吨，问怎样安排甲、乙这两种产品的生产数量，才能使每天所得的产值最大？

解：设甲、乙两种产品每天分别生产x吨和y吨，则每天所得的产值为z＝7x＋10y万元．

* *



3x＋5y≤150，

依题意，得不等式组5x＋2y≤200，

x≥0，y≥0.

2x＋8y≤160，

(※)

2x＋8y＝160，由3x＋5y＝150，

200

x＝7，解得90

y＝.7

5x＋2y＝200，

由3x＋5y＝150，



解得150

y＝.19

700x＝，

19

20090700150，，点B的坐标为，设点A的坐标为，则不等式组(※)719719所表示的平面区域是五边形的边界及其内部(如图中阴影部分)．

* *

令z＝0，得7x＋10y＝0，即y＝－

7

10

x.作直线l0：y＝－

7

10

x.由图可知把l0

7001507001506 400

，平移至过点B时，即x＝19，y＝19时，z取得最大值19. 1919

答：每天生产甲产品元．

22．某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件，假若定价上涨x成(这里x成即倍．

1

(1)设y＝ax，其中a是满足≤a<1的常数，用a来表示当售货金额最大时

3的x的值；

(2)若y＝x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围．

3

解：(1)由题意知某商店定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是

2

，070019

吨、乙产品

15019

吨时，能获得最大的产值6 40019

万

x* *

xy

p1＋元，n1－元，npz元，

1010xy因而npz＝p1＋·n1－，

1010∴z＝

(10＋x)(10－y)，在y＝ax的条件下，

100

1－a252

＋100＋a

1－a≤10，

1－a2

1

51

－ax－z＝

100

1

a

， 

5

由于≤a<1，则0<

3

a要使售货金额最大，即使z值最大， 此时x＝

5

1－a. a1

2

(2)由z＝(10＋x)10－x>1，解得03100

* *